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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.1 No.2 pp.36-43
DOI :

비원형 폐합쉘의 좌굴특성

박원태1, 천경식2
공주대학교 건설환경공학부1, (주)바우컨설탄트2

Buckling Characteristic of Non-Circular Closed Composite Shells

Kyoung-Sik Chun2, Won-Tae Park1
2BAU Consultant Co., Ltd., 968-5 Daechi-dong,
1Department of Civil and Enviromental Engineering, Kongju National University

Abstract

In this study, the buckling loads and mode shapes characteristic of circular and non-circular(elliptical) closedcomposite shells were analyzed. To analyses the buckling behaviors, we develop and report an improved generalizedshell element called 4EAS-FS through a combination of enhanced assumed strain and the substitute shear strain fields.A flat shell element has been developed by combining membrane element with drilling degree-of-freedom and a platebending element. The combined influences of length, thicknesses, cross-sectional parameters, and fiber-angle on thecritical buckling loads and mode shapes of circular and non-circular(elliptical) closed shells are examined.

5.2010년 6월호 다섯번째 논문_박원태천경식.pdf2.37MB

1. 서 론

부재가 압축력을 받았을 때의 강도는 부재를 구성하는 요소의 좌굴에 의해 영향받을 가능성이 있다. 좌굴이란 부재가 어느 한계치 이상의 압축력을 받게되면 부재의 형상이 변화되어 내하력을 상실하는 현상으로써 전체좌굴과 구조계를 구성하는 부재의 국부좌굴로 구분된다. 어느 경우나 국부좌굴이 전체좌굴에 선행되지 않도록 하는 것이 중요하다. 즉, 구성요소가 먼저 좌굴함으로써 기능이 상실되어 부재 전체의 좌굴을 유도하게 되거나, 구성요소의 좌굴이 응력의 재분배를 일으키고 부재 전체의 내하력에 영향을 미치는 거동을 생각할 수 있다. 

최근 저중량, 고강도, 고내구성이 요구됨에 따라 항공, 조선, 자동차분야에서만 국한적으로 적용되어 왔던 복합재료(FRP)는 토목, 건축 등의 건설분야에서 그 사용성이 대두되고 있다. 특히 압축력을 받는 구조물의 구성요소로 복합재료를 적용함으로써 높은 강성과 함께 보다 다양한 미적형상을 확보할 수 있으나 여전히 설계상 좌굴 등의 주요 안정검토가 필요하다. 따라서 본 논문은 원형 및 비원형 폐합쉘의 좌굴거동특성을 비교 연구함으로써 교각 기둥부 외부 또는 내부에 적용가능한 폐합쉘의 설계기초가 되고자 하였다. 그리고 좌굴모드형상을 예시함으로서 좌굴모드에 관한 물리적 및 공학적인 이해를 증진시키고자 하였다. 

국내 관련 연구동향을 살펴보면, 축하중을 받는 등방성 원통형 쉘의 기하학적 형상과 초기결함 등의 다양한 매개변수 변화에 따른 좌굴해석이 수행되었고 (Koiter, 1956; Sobel et al., 1976; Chryssanthopulos et al., 1991), 김승억 등(2001)은 회기분석을 통해 좌굴응력을 간편하게 구할 수 있는 설계식을 도출하였다. 등방성 재료에서만 국한되어 진행된 연구는 복합재료에 대한 관심이 대두되면서 점차 확대되었다. 석호(1999)와 박근우 등(2000)은 비등방성 복합적층판 및 쉘의 휨, 자유진동 및 좌굴해석을 전단변형을 고려한 Mindlin이론에 근거하여 수행하였다. 김기두와 박대효(2000)는 CFRP 원형패널의 고유치해석과 비선형 해석으로부터 초기 기하학적 결함 형상과 진폭 크기의 효과를 분석한 후 그 결과를 토대로 CFRP 원형패널에 대한 기하학적 결함의 민감도를 분석하여 복합재료 패널의 설계에서 사용되는 녹다운계수(Knock down factor)를 제안하였다. 최근에는 비등방성 원통형 쉘의 기하학적 비선형항을 고려한 지배방정식을 유도하여 유한차분법을 이용한 대변형해석이 이루어졌으며(천경식 등, 2002), 채널단면의 기하학적 형상변화에 따른 캔틸레버 적층구조물의 좌굴안정성이 연구되었다(윤순종과 채수하, 1998; 박원태 등, 2004). 장석윤(2004)은 횡리브로 보강된 복합적층 원통형 쉘의 좌굴거동을 다양한 매개변수(보강재 위치 및 크기, 쉘의 기하학적 형상, 화이버 보강각도 등)에 따라 분석하여 효율적인 보강설계를 제시하였다. 최근에 Sambandam et al.(2003)과 Ganapathi et al.(2004)은 크로스-플라이와 앵글-플라이에 한하여 타원형 적층관의 좌굴 및 자유진동해석을 각각 수행하였으나, 모드형상을 제시하여 주지 못하는 등의 한계를 지니고 있다. 

따라서, 본 연구에서는 원형 및 비원형 단면을 갖는 폐합쉘의 좌굴거동을 기하학적 매개변수 변화를 통해 비교·분석하고자 한다. 매개변수에 따른 다양한 모델 및 그에 따른 해석은 공학용 수치해석 언어인 Fortran으로 프로그래밍 하였다. 이때, 본 연구에서 적용한 유한요소는 전단 및 면내 잠김 현상과 가상의 제로에너지 모드가 발생하지 않도록 추가변형률장(enhanced assumed strain)과 대체전단변형률장(substitute shear strain)으로 보강하였다. 임계좌굴하중을 위한 고유치 해석을 수행하기 위해 전체 공간의 기저벡터를 부공간의 기저벡터로 치환하여 형성한 부공간에서 Jacobi방법으로 고유치문제를 해석하는 부공간반복법을 적용하였다. 

2. 연구방법

2.1 해석모델 및 재료특성치

Fig. 1은 본 논문에서 연구하고자 하는 비원형 폐합쉘을 이상화한 모델이다. a 와 b 는 비원형 단반경과 장반경축 길이이며, L 은 Y 축 방향 길이를 의미한다. 요소의 중립면을 x-y 축으로, 중립면에 수직한 축을 z 축으로 설정하였으며, θ 는 화이버 보강각도를 의미한다 (Fig. 2 참조). 해석에 사용된 직교이방성 재료물성치는 E1/E2 = 40, G12 = G13 = 0.6E2, G23 = 0.5E2, v = 0.25이고, 각각 동일한 두께와 재료를 가진 층을 아래에서 윗방향(+z방향)으로 적층하되, 화이버 보강각도는 x축을 기준으로 시계방향을 +로 설정하였다. 

Fig. 1. Geometrical shape and boundary condition of non-circular closed shell

Fig. 2. Element and Coordinates

2.2 유한요소 정식화

Mindlin-Reissner이론을 이용한 적층쉘 요소의 성능을 개선하기 위해 전단변형률에 가정변형률장(Donea and Lamain, 1987; Bathe and Dvorkin, 1984)을, 면내와 휨변형률에 Hu-Washizu의 변분수식화에 의한 추가변형률장(EAS)을 도입하였다(Simo and Rifai, 1990; Andelfingr and Ramm, 1993). 그리고 평판 휨요소에 면내 회전자유도를 지닌 평면응력 요소를 조합하여 평면 쉘요소(flat shell)을 구성하였다. 여기서, 회전자유도 변위장은 Allman(1988)의 회전변위관련 형상함수로 구성하며, 정식화는 Hughes and Brezzi(1989)가 제시한 변분방정식(variational equation)을 적용하였다. 또한 막-잠김현상을 제거하고 정확한 rank를 확보하여 가상의 제로에너지모드가 발생하지 않도록 5-적분점기법을 도입하였다.

면내하중 Nx , Ny와 Nxy에 대한 좌굴해석을 수행하기 위한 기하학적 강성행렬은 다음 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다. 

 

 

 

여기서, [J]는 Jacobian 행렬을, |J|는 Jacobian 행렬식(determinant)을 의미하며, [GI]는 형상함수의 ξ, η에 관한 미분항을 나타낸다. 좌굴해석은 식 (3)과 같이 고유치 문제로 표현하며, 는 좌굴하중 Ncr 을, KS는 전체 강성행렬을 의미한다. 

Fig. 3. Finite element modeling

2.3 전단변형을 고려한 구성방정식

복합적층 쉘요소의 변형률-변위, 응력-변형률 관계는 참고문헌(Reddy, 2003)에 제시되어 있으므로 그 부분은 생략하며 간단히 적층쉘의 구성방정식을 요약하면 식 (4), (5)와 같다. 

 

 

 

여기서, NL 은 전체 총 적층수이며, k 는 적층단면의 임의의 층을 의미한다. Aij1  는 인장 강성도, Aij3 는 휨 강성도 그리고 Aij2 는 Aij1 와 Aij3 의 상호작용에 의한 연계강성도, Eij 는 전단 강성도를 나타낸다. 두께방향 전단응력분포의 연속성을 보장받고, 경계조건을 만족시킬 수 있도록 전단보정계수를 사용하는 대신 Vinson and Chou(1975)에 의해 제시된 보간함수를 식 (5b)와 같이 적용하였다. 

3. 해석 예 및 결과분석

본 연구에서는 원형 및 비원형 단면을 갖는 폐합쉘의 기하학적 형상변화에 따른 좌굴하중 분포경향을 비교·분석하고자 한다. 기하학적 형상변화는 종횡비(a/b), 길이비(L/R) 및 두께비(R/t)로 설정하였다. 여기서 R(=c/2π)은 Fig. 1에서 보듯이 등가반경으로 정의하며, c 는 원주 길이로 c = π(a+b)β, β = 1 + 3e2 / ρ, ρ = 10 + (4 - 3e2 )1/2 , e = ( a - b )/ (a + b)에서 계산된다(Ramanujan, 1913). 그림과 표에 제시된 좌굴하중은 P = NcrR2/(E2t3)으로 무차원으로 표현하였다. 

우선적으로, 프로그램(4EAS-FS)의 수치검증을 실시하였고(Table 1), 이를 토대로 대칭배열 복합폐합쉘에 대해 기하학적 형상을 매개변수로 설정하여 좌굴해석을 수행하였다. 대칭배열은 연계강성인 Bij 가 0이 되므로 구조적으로 보다 안정된 거동을 보이며, 이로인해 실제 복합재료 구조물의 적층방법에서도 연계강성에 의한 영향을 최소화하기 위해 대칭배열을 선호한다. 단, 기본적인 적층수는 천경식 등(2006)의 연구결과에서 앞서 검토되어 있듯이 (0/90)ns 에 대해서 n = 5이상에서 일정한 좌굴하중을 갖는 것으로 나타나 기본 적층조건을 (0/90)5s 으로 설정하였다.

Table 1. Critical buckling load of laminated composite cylindrical shell(lbs/in)

3.1 크로스-플라이 (Cross-Ply)

 Fig. 4는 해석모델의 기하학적 형상변화에 따른 임계좌굴하중을 비교하여 나타낸 것이다. 우선, 길이 L이 증가하면서 해석모델의 좌굴하중이 서서히 증가하다가 감소하는 경향을 보이고 있다. 변곡점 전후로 모드형상을 살펴본 결과 2차원에서 3차원 좌굴형상을 나타낸다. 즉 변곡점 이상에서는 국부좌굴보다는 전체좌굴거동이 더 쉽게 발생함을 알 수 있다. 또한 종횡비 a/b가 증가할수록 보다 작은 길이비(L/R)에서 전체좌굴이발생하는 것을 알 수 있다. 비원형 단반경 축에 걸리는 곡면의 곡률이 작아져 상대적으로 그 방향으로 구조적 강성이 약해지기 때문에 국부적인 면외좌굴이 우선 발생한다. Fig. 4의 두 번째는 종횡비(a/b), 길이비(L/R) 및 두께비(R/t) 등 다양한 기하학적 형상변화에 따른 원형(a/b = 1.0)에 대한 비원형 폐합쉘의 좌굴하중을 비율로 표현하고 관계식을 산출한 것이다.

Fig. 4. Load versus length ratio

Table 2는 탄성계수비 E1/E2 에 따른 임계좌굴하중을 비교하여 나타낸 것이다. 종횡비 증가로 곡률(1/Ra)이 상대적으로 작아지는 곡면에 의해 좌굴 안정성이 감소하는 것을 확인하였으며 그와 더불어 원형보다는 비원형 단면에서 재료적 강성에 크게 의존하는 것을 알 수 있다. 즉, 종횡비(a/b)가 1.0에서 2.0으로 커지면서 탄성계수비 변화에 따른 좌굴하중이 50%에서 56%이상 증가하였고, 탄성계수비 10과 40을 비교한 결과 종횡비에 따른 좌굴하중 감소율이 대략 40%에서 50%로 증가하였다. 따라서, 비원형 단면은 원형과 비교하여 탄성계수비에 대한 민감도가 상대적으로 크다. 

Table 2. Critical buckling load (L/R=5.0, (0/90)5S)

Fig. 5은 원형(a/b = 1)과 비원형(a/b = 2)의 모드별 좌굴형상을 비교하여 나타낸 것이다. 비원형 폐합쉘은 축에 대하여 대칭과 역대칭 형상을 반복하되 곡률이 작은 부분에서 좌굴이 발생하며, 고차모드에서는 측면전체가 영향을 받는 것을 볼 수 있다. Fig. 6은 비교적 축방향 길이가 긴(L/R = 5) 경우에 한하여 종횡비별로 임계와 고차좌굴모드(9-mode)를 비교하여 나타낸 것이다. 비원형 단면으로 진행되면서 전반적으로 원주방향과 축방향으로 파형이 있는 체스판 형상의 좌굴이 측면에서 우선적으로 발생하는 것을 볼 수 있다. 

Fig. 5. Buckling mode shapes of symmetric cross-ply closed non-circular shell (L/R = 2.5)

Fig. 6. Buckling mode shape (L/R = 5, 1st & 9th-mode)

3.2 앵글-플라이 (Angle-Ply)

다음은 화이버 보강각도(θ)에 따른 좌굴하중을 종횡비(a/b)별로 비교·분석하였다. 역대칭 앵글-플라이 배열(예를 들어, (θ/ - θ), (θ/ - θ)2)은 휨과 인장 등에서 연계강성이 발생하여 구조물의 좌굴하중을 감소시키고, 예기치 않은 비틀림을 유발하는 등 거동에 큰 영향을 미친다(박근우, 2000; 천경식, 2002). 그러므로 대칭으로 적층한 경우에 한하여 기하학적 형상변화에 따른 좌굴하중 변화를 분석하였다.

Table 3은 화이버 보강각도에 대해서 우선 길이비 (L/R)와 종횡비(a/b)에 따른 무차원 좌굴하중을 나타낸 것이다. 화이버 보강각도 ± 75는 길이비에 크게 영향을 받지 않으나 원주방향으로 보강된 경우 즉, ± 15, ± 30와 ± 45는 대략 길이비 5 또는 10이후에 3차원 전체좌굴 특성을 보이면서 좌굴하중이 급격하게 작아지는 거동을 나타내었다. 또한(75/ - 75)5s 보강시 길이비에 따른 좌굴하중은 a/b = 1.5과 2.0에서 각각 L/R=25과 20 이후 (0/90)5s보다 큰 좌굴하중을 보임으로써 안정성을 확보하는 것으로 나타났다. 

Table 3. Critical buckling load versus geometrical ratio for symmetric angle-ply closed non-circular shells

이와 같은 현상은 Fig. 7에서 보다 자세히 파악할 수 있다. 비원형 폐합쉘은 특정 길이비 이후 크로스-플라이 (0/90)5s보다 앵글-플라이 (75/ - 75)5s가 구조적으로 안정하다. 이와 같은 현상을 토대로 해당 특정길이를 다양한 종횡비에 대해서 파악한 결과 즉, 종횡비별로 크로스보다 앵글-플라이에서 좌굴하중이 크게 발생하는 길이비를 산출한 결과 y = 5x2 - 21x + 42 에 집중되며, 그 그래프 우측 상단부는 (75/ - 75)5s이 (0/90)5s보다 축방향 압축좌굴에 대해서 안정함을 의미한다.

Fig. 7 Critical buckling load of cross-ply and angle-ply non-circular shells

Fig. 8는 Table 3에서 가장 큰 좌굴하중을 보인 화이버 보강각도 75°에 대해서 종횡비에 따른 좌굴형상을 모드별로 비교하여 나타낸 것이다. 한쪽 단부가 고정지지된 해석모델의 임계좌굴모드는 자유단에서 우선적으로 변형이 발생하며 이와 같은 형상은 고차모드에까지 나타난다. 또한, 좌굴모드는 종횡비에 따라 현저하게 다른 형상을 보인다. 양단 고정지지 또는 단순지지 등의 경계조건에서의 좌굴은 화이버의 강축방향을 따라 다양하게 발생하였을 것이며, 화이버 방향성으로 원형 및 비원형 폐합 복합쉘의 좌굴거동을 예측하기가 매우 난해하다. 차후, 경계조건에 대한 추가연구를 통해 비원형 복합쉘의 좌굴거동을 규명해야 할 것이다. 

Fig. 8. Buckling mode shapes of symmetric angle-ply closed non-circular shell ((75/ - 75)5s, L/R = 5)

4. 결 론

본 연구에서는 축방향 압축력을 받는 캔틸레버형비원형 폐합쉘을 해석모델로 설정하고, 종횡비, 길이비, 두께비 및 화이버 보강각도 등의 매개변수 변화에 따른 좌굴해석을 수행하였다. 

그 결과, 비원형 폐합쉘은 상대적으로 작은 곡률을 갖는 곡면에서 국부좌굴이 우선 발생하며, 단면의 종횡비가 증가할수록 좌굴하중은 감소한다. 대칭 크로스-플라이를 갖는 경우 종횡비가 증가함에 따라 선형적으로 좌굴하중이 감소하였다. 또한 길이비 증가에 따른 좌굴모드는 종횡비별 특정 길이비 이상에서 3차원 좌굴형상(전체좌굴)를 나타내었으며, 이에 해당하는 길이비는 종횡비가 증가할수록 감소하였다. 

또한, 본 연구에서는 대칭 크로스-플라이를 갖는 비원형 폐합쉘의 좌굴하중을 원형 폐합쉘에 대한 비율로 표현하되, 기하학적 매개변수별로 수식으로 제안하였으며(Fig. 4), 대칭-크로스 (0/90/ ⋯)ns보다 앵글-플라이 (θ/ -θ/ ⋯)ns에서 좌굴하중이 더 크게 발생하는 종횡비별 길이비를 산출하고 이를 수식화하였다(Fig. 7). 

최근 교각 기둥에 복합재료(FRP)를 랩핑(wrapping)하여 내진성능을 보강하고, 턴키(turn-key) 시장에서 상징성 및 미적요소 등이 부각되면서 원형이 아닌 다양한 비원형 형상의 기둥이 설계 적용된다는 점에서 앞으로 폐합쉘로 내 외부 보강된 비원형 기둥(CFT with FRP)에 대한 연구가 필요하며, 본 연구결과는 그 토대가 될 것으로 기대한다. 추후 보다 다양한 경계조건에 대해 좌굴해석을 수행하고, 고차전단변형에 따른 영향을 분석할 필요가 있을 것으로 사료된다. 

Reference

1.Kim, K. D. and Park, D. H. (2000). "A parametric study of CFRP cylindrical panels under axial compression using finite element method." Journal of KSCE, Vol. 20, No. 6-A, pp. 901-911.
2.Kim, S. E., Choi, D. H., Lee, D. W., and Kim, C. S. (2001). "Buckling strength of cylindrical shell subjected to axial loads." Journal of KSSC, Vol.13, No. 2, pp. 191-200.
3.Park, K. W., Yhim, S. S., and Chang, S. Y. (2000). "A study on the stability of anisotropic cylindrical shells." Journal of KSSC, Vol. 12, No. 2, pp.187-196.
4.Park, D. Y., Chun, K. S., and Chang, S. Y. (2003). "Substitute shear strain and nonconforming four-node isoparametric plate element for laminated composite plates." Journal of KSCE, Vol. 23, No.6-A, pp. 1183-1192.
5.Park, W. T., Chun, K. S., and Son, B. J. (2004). "Stability of cantilevered laminated composite structures with open channel section by geometrical shape variations." Journal of KSMI, Vol. 8, No. 2, pp. 169-175.
6.Yoon, S. H. (1999). "Bending, free vibration and buckling analysis of anisotropic composite laminated plate and shell structures." Journal of KSSC, Vol. 11, No. 1, pp. 55-67.
7.Chang, S. Y. (2004). "Study on buckling of composite laminated cylindrical shells with transverse rib." Journal of KSSC, Vol. 16, No. 4, pp. 493-503.
8.Chun, K. S., Son, B. J., and Chang, S. Y. (2002). "A study on behavior of anisotropic circular cylindrical shell including large deformation effects." Journal of KSSC, Vol. 14, No. 4, pp. 489-498.
9.Chun, K. S., Son, B. J., and Ji, H. S. (2006). "Buckling load and mode analysis of symmetric multi-laminated cylinders with elliptical cross –section." Journal of KSCE, Vol. 26, No. 3A, pp.457-464.
10.Andelfingr, U. and Ramm, E. (1993). "EAS-elements for 2D-, 3D-, plate and shell structures and their equivalence to HR-elements." Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 36, pp. 1311-1337.
11.Allman, D. J. (1988). "A quadrilateral finite element including vertex rotations for plane elasticity analysis." Int. J. Num. Meth. Eng., Vol. 26, pp.717-730.
12.Bathe, K. J. and Dvorkin, E. N. (1986). "A formulation of general shell elements-the use of mixed formulation of tensorial components." nt. J. Num. Meth. Eng., Vol. 22, pp. 697-722.
13.Chryssanthopulos, M. K., Baker, M. J., and Dowling, P.J. (1991). "Imperfection modeling for buckling analysis of stiffened cylinders." J. Struct. Eng.ASCE, Vol. 117, No. 7, pp. 1998-2017.
14.Donea, J. and Lamain, L. G. (1987). "A modified representation of transverse shear in C0 quadrilateral plate elements." Comp. Meth. Appl.Mech. Eng., Vol. 63, pp. 183-207.
15.Ganapathi, M., Patel, B. P., and Patel, H. G. (2004). "Free flexural vibration behavior of laminated angle-ply elliptical cylindrical shells." Comp.Struct., Vol. 82, pp. 509-518.
16.Jaunky, N., Knight, J. N. F., and Ambur, D. R. (1999). "Buckling analysis of variable curvature panels and shells." Compo. Struct., Vol. 43, No. 4, pp.321-329.
17.Koiter, W. T. (1956). "Buckling and Post-buckling Behavior of a Cylindrical Panel under Axial Compression." National Luchtvaat Laboratorium, Report and Transaction, Vol. 20, Report S. 476.
18.Hughes, T. J. R. and Brezzi, F. (1989). "On drilling degrees of freedom." Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., Vol. 72, pp. 105-121.
19.LUSAS 13.5 (2004). Finite Element Analysis System, Theory Manual, FEA, Ltd., London.
20.Ramanujan, S. (1913). "Modular equations and approximations to ." Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 45, pp. 350-372.
21.Reddy, J. N. (2003). Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells, CRC Press.
22.Rikards, R., Chate, A., and Ozolinsh, O. (2001). "Analysis for buckling and vibrations of composite stiffened shells and plates." Comp. Struct., Vol. 51,No. 4, pp. 361-370.
23.Sambandam, C. T., Patel, B. P., Gupta, S. S., Munot, C. S., and Ganapathi, M. (2003). "Buckling characteristics of cross-ply elliptical cylinders under axial compression." Comp. Struct., Vol. 62, No. 1, pp. 7-17.
24.Simo, J. C. and Rifai, M. S. (1990). "A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes." Int. J. Num. Meth. Eng.,Vol. 29, pp. 1595-1638.
25.Sobel, L. H., Weller, T., and Agarwel, B. L. (1976). "Buckling of cylindrical panels under axial compression." Comput. Struct., Vol. 6, pp. 29-35.
26.Vinson, J. R. and Chou, T. W. (1975). "Composite Materials and Their Use in Structures." Applied Science Publishers Ltd.