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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.1 No.3 pp.1-9
DOI :

복합적층 및 샌드위치판 전단변형함수에 관한 상호비교연구

박원태1, 장석윤2, 천경식3
공주대학교 건설환경공학부 교수1, 서울시립대학교 토목공학과 명예교수2, (주)바우컨설탄트 공학박사3

Comparison of Various Shear Deformation Functions for Laminated Composite/Sandwich Plates

Kyoung-Sik Chun3, Park Won-Tae1, Chang Suk-Yoon2
3Ph. D, BAU Consultant Co., Ltd., Seoul, Korea
1Professor, Department of Civil and Enviromental Engineering, Kongju National University, Chungnam, Korea,
2Professor, Department of Civil Engineering, University of Seoul, Seoul, Korea

Abstract

In this paper, we used various shear deformation functions for modelling isotropic, symmetric composite andsandwich plates discretized by a mixed finite element method based on the Lagrangian/Hermite interpolation functions.These shear deformation theories uses polynomial, trigonometric, hyperbolic and exponential functions through thethickness direction, allowing for zero transverse shear stresses at the top and bottom surfaces of the plate. All sheardeformation functions are compared with other available analytical/3D elasticity solutions, are predicted the reasonableaccuracy for investigated problems. Particularly, The present results show that the use of exponential shear deformationtheory (Karama et al. 2003; Aydogu 2009) provides very good solutions for composite and sandwich plates.

1.2010년 9월호 첫번째 논문_박원태장석윤천경식.pdf803.8KB

1. 서 론

섬유보강 복합재료는 높은 비강도, 비강성으로 인해 구조 경량화가 요구되는 항공산업 뿐 만 아니라 조선, 자동차, 토목 등에 널리 사용되어지고 있다. 이러한 복합적층 구조는 이방성 재료 특성을 갖는 서로 다른 재료들을 적층시키고, 각 층의 섬유 보강각도에 의해 강성을 효과적으로 발휘할 수 있는 구조로서, 보다 정확한 거동을 구현하기 위한 해석기법 및 이론에 대한 연구가 지속적으로 진행되어 왔다. 

특히, 사용성이 높고 다양한 적층구조체는 전단계수가 탄성계수의 1/25~1/40에 불과하기 때문에 횡방향 전단변형은 거동에 상당한 영향을 미친다. 전단변형 효과를 고려하지 않은 고전적인 판 이론은 두께가 얇은 경우를 제외한 등방성 재료 또는 복합적층을 갖는 두꺼운 판의 경우 오차가 크게 발생한다. 즉, 고전이론은 평판처짐 등의 변형 및 좌굴하중을 과소평가하며, 고유진동수를 과대 예측하는 것으로 알려져 있다. 

Reissener(1945)가 판의 두께방향으로 전단응력분포가 일정하다고 가정함으로써 처음으로 전단변형 효과를 고려하였으며, Mindlin(1951)은 전단응력분포가 포물선 형태를 가지므로 전단변형 및 응력의 보정을 위하여 Reissener의 이론을 수정하고자 전단보정계수를 도입하였다. 그러나, 1차전단변형이론은 판의 상하면 (z±h/2)에서의 전단응력에 대한 경계조건 (τxzyz = 0)을 만족시키지 못함에 따라 이를 해결하기 위한 다양한 전단변형이론이 제시되었다. 

Levinson(1980)과 Murthy(1981)는 Whitney and Pagano(1970)의 1차 전단변형이론의 평형방정식을 이용하여 종방향 수직 압축/인장을 무시한 고차이론을 제안하였다. 그 이후 Reddy(1984)는 Levinson과 Murthy의 이론을 발전시킨 단순화된 고차전단변형이론(Parabolic shear deformation theory, PSDT)을 제안하였고, 휨, 자유진동 및 좌굴해석을 수행하였다(Phan and Reddy, 1985). Touratier(1991)과 Solatos(1992)는 전단변형률 분포를 각각 삼각함수(Trigonometric function, TSDT)와 쌍곡삼각함수(Hyperbolic trigonometric function, HSDT)로 근사화한 전단변형이론을 제안하였으며, Idlbi et al.(1997)은 크로스-플라이 적층판을 해석모델로 설정하고 PSDT와 TSDT에 의한 휨 거동차이를 비교하였다. 최근, Kant and Swaminathan(2002)는
Talyor 전개식을 z3항까지 확장시켜 종방향 수직변형률/응력 및 종방향 뒤틀림을 고려한 변위장을 제시하였으며, 이를 천경식 등(2003)과 박원태 등(2004)은 유한요소로 확장하였으나, 절점당 12개 자유도(D.O.F)를 갖는 단점을 갖는다. Karama et al.(2003)는 적층보의 휨 거동 분석을 통해 전단변형함수를 지수함수(Exponential function)로 제안하였으며, 천경식 등(2003)은 Layerwise 이론에 기초한 삼각함수 지그재그 모델 등을 개발하였으나, 적층보에 제한적이다.

본 연구에서는 Lagrangian 및 Hermite 보간함수를 혼합정식화한 유한요소모델을 토대로 전단변형함수 (Levinson 1980; Touratier 1991; Soldatos 1992; Karama et al. 2003; Aydogu 2009)별 프로그램을 작성하고, 등방성, 복합적층 및 샌드위치판 등 다양한 해석예제로 거동차이를 상호 비교 분석하고자 한다. 차후 본 논문이 고차전단변형을 고려한 적층판 유한요소 개발과 작성시 중요한 참고자료가 될 것으로 기대되며, 아울러 각각의 전단변형함수에 따른 강성행렬식을 전개하여 개발자의 이해를 도모하고자 한다. 

2. 기본이론

2.1 변위장 및 지배방정식

본 연구에서는 다양한 전단변형이론을 토대로 임의의 점 (x, y, z)에서의 변위장 u,v를 두께에 대해서 1차 및 함수 f(z)로 전개·화장하고, w는 두께에 따라 일정하다고 가정한다. 즉, x, y축 방향에 대한 변위의 고차항은 근사적인 layerwise 거동을 나타낼 수 있는 다항식, 삼각함수 및 지수함수 등으로 설정하였으며, z축 방향에 대한 변위는 고려하지 않는다. 이때 층간분리현상은 고려하지 않으며 완전접착으로 일체거동한다고 가정한다. 복합적층판의 임의의 점에서의 변위장은 식 (1)과 같이 설정한다. 

 

u0, v0, w0는 각각 중립면에서의 면내변위와 횡방향 변위를, φx, φy는 y축과 x축의 회전각을 의미한다. 그리고, f(z)는 전단변형함수로서 Table 1에 비교하여 정리하였다. 이 때, 적층요소의 중립면을 x-y축으로, 중립면에 수직한 축을 z축으로 설정하였으며, θ는 섬유 보강각도를 의미한다 (Fig. 1 참조). 적층조건은 각각 동일한 두께와 재료를 가진 층을 아래에서 윗방향(+z방향)으로 적층하되, 화이버 보강각도는 x축을 기준으로 반시계방향을 +로 설정하였다. 

Table 1. Shear Deformation Theories and Functions

Fig. 1 Element and Coordinate

식(1)의 변위장을 탄성론의 변형률-변위 관계식에 대입하면 다음과 같다. 

 

 

적층판의 평형방정식을 유도하고자 가상일의 원리를 적용, 정리하면 식(4)와 같이 나타낼 수 있다. 

 

여기서,



식(4)에서 N은 면내력, M은 모멘트, Q는 전단력이며, Mf, Qf은 전단변형함수에 의한 단면력으로 식 (5)와 같이 나타낸다. 

 

Aij, Bij, Cij, Dij, Eij, Fij, Hij는 단면력과 변형률의 관계를 나타내기 위하여 사용하는 강성값으로, 각각 인장, 연계, 휨 강성행렬과 전단변형함수로 인한 강성행렬이다. 강성행렬은 식(6)과 같이 적분식으로 표현되며, 부록 A-I에 전개식을 수록하였다. 

 

 

 

2.2 유한요소 정식화

본 논문에서는 다양한 전단변형이론에 따른 복합적층판 및 샌드위치판의 거동을 비교 분석하기 위해 4절점 유한요소를 적용하였으며, 요소내 한 절점당 7개 자유도(u0, v0, w0, ∂w/∂x, ∂w/∂y, φx, φy)를 갖는다. 형상함수(Shape function)는 처짐에 대해 포물선 함수인 Hermite 보간함수를, 면내변위 및 처짐각에 대해서는 선형함수인 Lagrangian 보간함수를 병용하였다. 

식(7)은 평판요소의 전체 강성행렬은 나타낸 것이다. 

 

여기서, [R]은 변형률-변위행렬로서 [ε]=[R][δ]이며 식(8)과 같다. [S]는 식(5)에서 표현한 단면력과 변형률 관계식이다. Ni는 Lagrangian 2차 보간함수이며, fi, gi, hi는 Hermite 3차 보간함수를 의미한다. 세부적인 함수식은 부록 A-II에 수록하였다.

3. 해석 예 및 결과분석

복합적층 및 샌드위치 구조물은 등방성과 달리 전단변형효과에 민감하게 거동한다. 이에 최근까지 발표된 대표적인 전단변형함수에 따른 거동특성을 분석하고자 폭두께비, 길이비 및 강성비를 매개변수로 설정하였다. 우선, 요소수에 따른 해석치의 변동영향을 최소화하기 위해 Fig. 2와 같이 수렴성을 분석하여 적정분할수를 24×24로 설정하였다. 

Fig. 2 Convergence

3.1 등분포하중을 받는 등방성 판

등분포하중을 받는 단순지지된 등방성판의 탄성계수(E)와 포아송 비(v)는 각각 1.0과 0.3이다. 해석결과치는 다음 식으로 무차원화하여 Table 2에 비교하였다.

 

Table 2. Nondimensionalized center deflections and in-plane stresses of isotropic plates under uniform load

다양한 전단변형함수 f(z)에 대한 본 연구의 유한요소 결과값은 Reddy(1984)의 해석적인 해(Analytical solution)와 비교하여 유사한 거동을 보였으며, 본 연구의 비교대상들은(Levinson, Touratier, Soldatos, Karama and Aydogu) 모든 폭두께비(a/h)에서 상호 일치한 결과값을 나타내고 있다. 즉 등방성 판은 전단변형함수의 영향을 크게 받지 않는다.

3.2 Sin하중을 받는 적층판

Sin하중(Sinusoidal transverse load) p을 받는 단순지지된 복합적층판의 경우에 한하여 Pagano(1970) 및 Reddy(1984)의 해석치(Analytical Solution)과 비교하였다. 적층조건은 대칭 크로스-플라이에 한하여 동일한 두께를 갖는 직교이방성 층으로 구성하되, 재료물성치는 다음과 같다. 

 

수직처짐 및 면내·전단응력은 다음 식을 적용하여 무차원화하였다. 

 

Table 3은 적층배열 [0/90/90/0]을 갖는 정사변형 적층판의 무차원 최대처짐() 및 응력을 폭두께비 (a/h)에 따라 비교한 것이다. Table 4는 Table 3과 동일한 조건하에 적층배열 [0/90/0]에 대한 해석결과를 비교하였다. 또한, 적층배열 [0/90/0]을 갖는 직사각형 (b/a=3) 적층판의 무차원 처짐 및 응력을 Table 5에 정리하였으며, Fig.3은 Pagano(1970)의 정해(Elasticity, wp)에 대한 수직처짐비율(w/wp)을 도식화한 것이다. 각 전단변형함수에 의한 해석치는 서로 유사하며, 수직처짐의 경우 최대 6% 정도의 오차를 보인다. 그 차이는 폭 두께 비가 작아질수록 크게 발생한다. 대체적으로 적층판 해석에 있어서 Karama와 Aydogu에 의한 지수함수형태의 전단변형함수가 가장 우수한 결과를 나타낸다.

Table 3. Deflections and stresses of laminates under sinusoidal load (a/b=1.0, [0/90/90/0])

Table 4. Deflections and stresses of laminates under sinusoidal load (a/b=1.0, [0/90/0])

Table 5. Deflections and stresses of laminates under sinusoidal load (a/b=3.0, [0/90/0])

Fig. 3 Deflection comparison versus length-to-thickness ratio (a/h) of laminates (w/wp, Table 5)

Pagano(1970)의 정해(Elasticity, wp)에 대한 수직처짐비율(w/wp)을 도식화한 것이다. 각 전단변형함수에 의한 해석치는 서로 유사하며, 수직처짐의 경우 최대 6% 정도의 오차를 보인다. 그 차이는 폭 두께 비가 작아질수록 크게 발생한다. 대체적으로 적층판 해석에 있어서 Karama와 Aydogu에 의한 지수함수형태의 전단변형함수가 가장 우수한 결과를 나타낸다. 

4.3 등분포하중을 받는 샌드위치판

본 절의 해석모델은 등분포하중 q를 받는 단순지지된 정사변형 샌드위치판(Sandwich plate)이다. 샌드위치판은 복합면재(Facings)와 심재(Core)로 구성되며, 각 층의 두께는 면재 h1=h3=0.1h, 심재 h2=0.8h로 설정한다. 재료물성치는 다음과 같이 강성행렬로 제시하되, R을 매개변수로 전단변형함수별 거동차이를 비교·분석하였다. 

 

최대수직처짐 및 응력은 다음과 같이 무차원화하였으며, Srinivas(1973)와 Pandya and Kant(1988)의 결과와 비교하여 Table 6에 정리하였다. Fig. 4은 R=15에 대한 두께방향 면내응력 와 변위 분포를 나타낸 것이다. 

Table 6. Deflections and stresses of sandwich plate under uniform load (a/b=1, a/h=10, h1=h3=0.1h, h2=0.8h)

Fig. 4 In-plane stresses and displacements versus thickness (z/h) for sandwich plates (a/b=1, a/h=10, R=15, Table 6)

 

다양한 전단변형함수 f(z)에 대한 샌드위치판의 유한요소 결과값은 비교대상간 유사한 거동을 보였으며, Pandya and Kant(1988)보다 Srinivas(1973)의 정해에 더 근접한 결과를 나타낸다.

단, Karama와 Aydogu 모델은 해석결과에서 보듯이 완벽히 일치하나, 이는 부록 A-I에 수록된 강성행렬 전객식에서 볼 수 있듯이 f(z)의 함수형태만 다를 뿐 결과적으로 동일한 강성행렬을 갖기 때문이다. 또한, 적층 및 샌드위치판(대략 R>5)에서는 Karama, Aydogua 및 Touratier(이하 ‘함수-1’)가 Levinson 및 Soldatos(이하 ‘함수-2’)보다 큰 해석값을 나타내었고, 등방성 및 샌드위치판(R≦5)에서는 그 반대현상을 나타내었다. 이는 R 변화에 따른 샌드위치판 수직처짐을 Karama에 대한 상대비율로 나타낸 Fig. 5에서 더욱 분명해진다. 단편적인 예에 불과하나, 섬유 보강각도로 층간 강성차이가 발생하는 적층구조에서는 ‘함수-2’보다는 ‘함수-1’을 적용함이 안전측이며, ‘함수-1’이 정해(Pagano 1970; Srinivas 1973)에 더욱 근접한 결과값을 보여주었다. 

Fig. 5 Deflection comparison versus stiffness ratio(R) (a/b=1, a/h=10, Table 6)

4. 결 론

본 연구는 Hermite 및 Lagrangian 보간함수에 의한 혼합정식화(Mixed formulation)로 유한요소모델을 작성하고, Levinson(1980), Touratier(2003), Karama et al.(2003) 그리고 Aydogu(2009)에 의한 다양한 전단변형함수별 등방성 및 복합적층/샌드위치판의 거동을 상호 비교하였다. 

그 결과, 전단변형함수별 거동(처짐 및 응력)은 해석모델 및 매개변수별로 서로 유사하게 나타났으며, 정해에 근접한 우수한 결과를 보였다. 그러나, 지금까지 발표된 전단변형함수 f(z)는 전단변형을 표현 가능한 수식(포물선, 삼각함수, 지수함수 등)으로 근사화하였을 뿐, 구조거동의 개선 및 발전경향이 두드러지지 않았다. 다만, 적층 및 샌드위치 구조형식에 있어서 Karama et al.(2003)와 Aydogu(2009)이 상대적으로 우수한 결과를 보이고 있는바 전단변형함수로 지수함수를 적용함이 적절할 것으로 판단된다. 

본 연구결과를 토대로 추후 적층배열(대칭, 역대칭, 비대칭) 및 섬유 보강각도를 매개변수로 휨해석 뿐만 아니라 좌굴 및 자유진동해석을 수행하여 전단변형함수를 상호 비교분석할 필요가 있을 것으로 사료된다. 

부 록

Aij, Bij, Cij, Dij는 Reddy(1984) 등의 참고문헌에 수록 되어있는바, 지면상 전단변형함수 f(z)에 의한 강성 행렬 Eij, Fij, Hij 및 에 대해서만 아래 표와 같이 적분식을 전개한다. 여기서 Erf는 다음과 같다. 

A-I

 

A-II

본 연구에서 적용한 유한요소 형상함수인 Lagrangian 및 Hermite 보간함수는 각각 식(A-2), (A-3)과 같다. 이때, (ξi, ηi)는 요소(Element)내 i번째 절점(Node)에 대한 자연좌표계(Natural coordinates)로서, 4절점 유한요소의 경우 식(A-4)와 같이 나타낸다. 

 

 

 

여기서, ξ = 2(x-xc) / a, η = 2(y-yc) / b이고, a와 b는 평면요소 길이를, (xc, yc)는 전체좌표계에서의 요소 중심위치를 의미한다. 

 

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