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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.7 No.2 pp.30-36
DOI : https://doi.org/10.11004/kosacs.2016.7.2.030

Fiber Damage Detection of Laminated GFRP Plate Structures Using a Modified Bi-variate Gamma Function

Gyu-Dong Kim1, Sang-Youl Lee2
1PH.D. Student, Department of Civil Engineering, Andong National University, Andong, Korea
2Associate Professor, Department of Civil Engineering, Andong National University, Andong, Korea
Corresponding author: Lee, Sang-Youl Department of Civil Engineering, Andong National University, 388 Songchon-dong, Andong, Kyoungsangbuk-do 760-749, South Korea +82-54-820-5847, lsy@anu.ac.kr
June 3, 2016 June 19, 2016 June 23, 2016

Abstract

This study carried out fiber damage detections of laminated GFRP plate structures using a modified bi-variate Gamma function. The effects of different layup sequences of composites on the fiber damage detection are studied using the finite element commercial package and genetic algorithm. Four unknown parameters are considered to determine the shape of the damage distribution, which is a modified form of the bivariate Gamma density distribution function. The sample studies show the excellence of the proposed method from the standpoints of its computation efficiency as well as its ability to determine the complex shape of an arbitrary stiffness degradation distribution.


수정된 이변량 감마 함수를 적용한 GFRP 적층구조의 보강섬유 손상 추정

김 규동1, 이 상열2
1안동대학교 토목공학과 박사과정1
2안동대학교 토목공학과 부교수

초록


    Ministry of Science, ICT and Future Planning
    National Research Foundation
    No.2015R1A2A2A01005637

    1서 론

    복합재료 구조물에서 보강섬유의 손상은 구조성능 및 거동을 크게 좌우할 수 있는 주요한 요인 중 하나이 다. 보강섬유의 손상여부는 육안으로 확인이 불가능 하며 비파괴 검사 방법을 적용해야 한다. 이론적 접 근 방법으로 다양한 연구들이 수행되었으며, 비파괴 평가를 위한 측정데이터는 주로 고유진동 또는 동적 응답 자료를 적용하였다. 그 중 유전자 알고리즘을 적용하여 역문제 해결을 통한 손상 및 시스템 변수 추정 기법 개발 등에 관한 연구도 다양하게 수행되 었다(Guo and Li, 2012; Chou and Ghaboussi, 2001). 역 문제 해결을 통한 손상 추정 방법은 다양한 공학문 제에 적용할 수 있으며, 수치해석적 측면에서 효율적 이라고 할 수 있다. 그러나, 반복적인 전향 해석을 수행해야 하므로 복합소재 구조와 같은 비등방성을 보이는 복잡한 역학적 문제를 해결하기 위해서는 보 다 효율적은 접근방법을 선택해야 한다.

    유한요소 해석에 대하여 구조물을 각 요소로 분할 하고 요소 기반으로 손상을 추정하는 방법은 트러스 나 보와 같은 1차원 구조에서는 장점을 갖지만, 판 및 쉘과 같은 2차원 구조에서는 추정해야 하는 미지 수가 증가하게 되어 수치해석적 효율성이 감소하게 된다. 또한, 삼각형 또는 사각형 형태의 2차원 분할 요소는 인접한 요소들 간의 역학적 거동이 유사하므 로 특정 요소에서의 미지 변수를 정확하게 추정하는 것이 난해할 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위하 여 요소 기반이 아닌 수학적 함수를 적용하여 손상 분포 형상을 가정하여 몇 개의 미지변수 추정으로 손상을 추정하는 방법이 적용되었다. Lee et. al (2008)는 콘크리트 구조물의 균열을 이변량 Gaussian 분포함수로 가정하여 추정하는 방법을 적용하였다. 이변량 Gaussian 분포 함수 기반의 손상분포 추정 방 법은 일반적인 손상분포에 대하여 적용이 용이하고 효율적인 장점을 갖는다. 그러나, 손상분포의 형상이 비대칭이거나 비정형적인 경우는 Gaussian 분포함수 의 특성상 정확하게 반영하는 것이 불가능하다. 따라 서 본 연구에서는 보다 다양한 손상 분포형상을 구 현할 수 있는 이변량 Gamma 밀도 함수를 적용하여 추정하는 방법을 제안하고, 수치해석 예제를 통하여 제안 기법의 타당성을 입증하고자 한다(Smith and Adelfang, 1981). 본 연구에서 제시한 이변량 Gamma 밀도함수는 4개 또는 5개의 미지변수의 추정으로 손 상 분포의 추정이 가능하다. 본 연구에서는 전향 해 석은 고등 유한요소 해석 패키지인 ABAQUS를 연동 하고, 역문제 해결은 유전자 알고리즘을 접목하는 알 고리즘을 개발하여 적용한다.

    2이론적 정식화

    2.1보강섬유 손상분포 모델

    일반적으로 섬유와 모재와의 상호거동을 분석하는 이론적 접근방법은 섬유가 규칙적으로 일정하게 배열 되어 있다는 가정에 의해 식을 유도하여 적용하지만 실제 복합소재를 구성하는 보강섬유는 불규칙하게 배 열되어 있다. 이러한 사실을 고려하여 탄성론적 관점 에서 엄밀식을 통한 정확해를 산정할 수 있으나 유 도되는 식이 복잡하고 적용하기가 난해하여 실용적이 지 못한 단점을 갖는다. 따라서, 본 연구에서는 간편 하게 적용할 수 있는 Halpin-tsai 식은 적용하였으며 요약하면 다음과 같다 (Jones, 1998).

    Φ ( E 2 , G 12 , υ 12 ) Φ m ( E m , G m , υ m ) = 1 + C η V f 1 η V f
    (1)

    η = ( Φ f ( E f , G f , υ f ) / Φ m ( E m , G m , υ m ) ) 1 ( Φ f ( E f , G f , υ f ) / Φ m ( E m , G m , υ m ) ) + C
    (2)

    C E 22 = 2 + 40 V f 10 , C G 12 = 1 + V f 10
    (3)

    여기서, Ef , Em 은 등방성 보강섬유 및 모재의 탄 성계수, νf , νm 는 등방성 보강섬유 및 모재의 포아송 비, Vf , Vm 는 복합소재 체적에 대한 보강섬유와 모 재의 체적 비율을 각각 나타낸다. 2방향 탄성계수 (E2 )와 전단탄성계수(G12 )는 비선형적인 관계이고 주로 모재에 지배적인 특성을 가진다 (Hewitt and Malherbe, 1970).

    2.2이변량 Gamma 밀도 함수

    전술한 바와 같이, 분할 요소기반의 손상 추정 방 법은 적층판과 같은 2차원 구조의 경우, 수치해석적 으로 비효율적이다. 따라서, 본 연구에서는 수정된 이 변량 Gamma 밀도 함수를 적용하여 복합소재 판구조 의 보강섬유 손상을 정의하였다. 즉, 적층 판구조의 각 분할된 요소에 해당하는 보강 섬유의 탄성계수 (Ef )값에 Gamma 밀도 함수 값을 분할 요소에 할당 하여 손상 분포를 정의하였다. 이러한 방법을 사용하 면 분할 요소의 수에 상관없이 의 분포함수를 구성 하는 미지의 변수 몇 개만을 추정하면 되므로 해석 시간이 대폭 줄어든다. 특히 이변량 Gamma 밀도 함 수를 적용하는 경우, 비대칭 손상 분포를 비롯한 임 의의 다양한 손상분포에 대한 형상을 구현할 수 있 기 때문에 기존 연구에서 수행한 Gaussian 분포함수 를 적용한 기법보다 더욱 효과적인 접근방법이라 할 수 있다 (Kim et. al, 2015). 5개의 변수로 구성된 비 정형(비균일) 변수 γ1 γ γ2를 갖는 이변량 Gamma 밀도함수(f )의 일반적인 형태는 다음과 같다(Gunst and Webster, 1973).

    f ( t 1 , t 2 ; γ 1 , γ 2 , η ) = t 1 γ 1 1 t 2 γ 2 1 exp-{(t 1 +t 2 )/ ( 1 η ) } ( 1 η ) γ 1 Γ ( γ 1 ) Γ ( γ 2 γ 1 ) × k = 0 j = 0 η j + k ( 1 η ) 2 j + k Γ ( γ 2 γ 1 + k ) Γ ( γ 2 + j + k ) ( t 1 · t 2 ) j t 2 k j ! k ! 여기서,  0 ρ ( γ 1 γ 2 ) 1 2 η .
    (4)

    식 (4)에서 t1 = β1x , t2 = β2y 이고 변수 β1β2는 주어지는 Scale 변수를 각각 의미한다. 또한, η = ρ γ 2 / γ 1 이며, ρ는 변수 xy사이의 상관계수 이다. 식 (4)는 수정된 제1종 Bessel 함수 (Iγ)의 형태 로 표현하면 다음과 같다.

    f ( t 1 , t 2 ; γ 1 , γ 2 , η ) = t 1 γ 1 1 t 2 γ 2 1 exp-{(t 1 +t 2 )/ ( 1 η ) } ( 1 η ) γ 1 Γ ( γ 1 ) Γ ( γ 2 γ 1 ) × k = 0 η k Γ ( γ 2 γ 1 + k ) t 2 k k ! ( η t 1 · t 2 ) k / 2 I γ 2 + k 1 { 2 ( η t 1 · t 2 ) 1 2 1 η }
    (5)

    균일(정형)한 형상에 대한 변수에 대하여 가정하 면, γ1 = γ2이 되며, 미지 변수는 5개에서 4개로 감 소된다. 4개의 미지변수를 가정한 Gamma 밀도 함수 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    f ( t 1 , t 2 ; γ , ρ ) = ( t 1 · t 2 ) γ 1 exp-{(t 1 +t 2 )/ ( 1 ρ ) } ( 1 ρ ) γ Γ ( γ ) × j = 0 ρ j ( t 1 · t 2 ) j ( 1 ρ ) 2 j Γ ( γ + j ) j !
    (6)

    식 (6)을 앞의 경우와 유사하게 제1종 Bessel 함수 로 나타내면 다음과 같다.

    f ( t 1 , t 2 ; γ , ρ ) = ( t 1 · t 2 ) γ 1 2 exp-{(t 1 +t 2 )/ ( 1 ρ ) } ρ γ 1 2 ( 1 ρ ) Γ ( γ ) × I γ 1 { 2 ( ρ t 1 · t 2 ) 1 2 ( 1 ρ ) }
    (7)

    Fig.1은 4개의 미지변수를 갖는 이변량 Gamma 밀 도함수를 적용한 보강섬유 손상 분포를 가정한 형상 의 예를 보여준다.

    2.3ABAQUS-유전알고리즘 연동 역문제 해석

    전향해석(Forward analysis)을 수행하기 위하여 프 로그램 언어인 Matlab 또는 Fotran 등으로 직접 코딩 하는 것은 실용적 측면에서 효율적이지 못하다. 그 이유는 범용해석 프로그램을 개발하지 않는 이상, 해 석조건이 변화되거나 비교할 데이터가 달라질 경우 필요에 따라 각각 코드를 개발해야 한다는 번거로움 이 있다. 또한, 기업의 실무자가 각 구조물 형식 및 해석 종류별로 구조해석 코드를 개발하여 적용하는 것은 현실적으로 거의 불가능하다. 따라서 본 연구에 서는 범용 유한요소 구조해석 팩키지인 ABAQUS를 이용하여 전향 해석을 수행하도록 자동화 연동하는 기법을 적용하였다. 전술한 대로 ABAQUS 프로그램 의 인풋 파일을 자동으로 컨트롤 할 수 있도록 하면 비교적 쉽게 역문제를 시스템화 시킬 수 있고, 코드 개발에 비해서 해석조건의 변화가 쉽고 다양한 해석 을 통해 비교할 데이터를 보다 쉽게 얻을 수 있다.

    전향해석 이후, 역문제 해법을 위하여 본 연구에서 는 유전자 알고리즘을 적용하였다. 이 경우, 최적 함 수(Fitness function)의 값이 설정한 값에 만족할 때까 지 전향해석 및 역문제 알고리즘이 수행된다. 본 연 구에서는 역문제 알고리즘에 대하여 고유진동 해석을 통하여 획득한 고유진동수 및 고유모드를 비교 측정 데이터로 설정하였다. 즉, 초기 획득한 고유진동수(참 값)와 유전자 알고리즘을 적용한 역문제 과정에서 가 정되어 도출된 고유진동수(계산값)를 비교하여 평가 하는 것이다. 초기 측정치와 계산치 사이에서의 오차 єk는 식 (8)과 같이 산정하였다.

    k = n=1 N ( ω ¯ [ n ] [ n ] ) 2 ,  n=1,2, N.
    (8)

    여기서, ω[n] 및 ω [n]는 전향해석으로부터 측정된 동적데이터 및 역문제 알고리즘으로부터 계산된 n번 째 모드의 고유진동수를 각각 의미하며, N은 전체 고 유진동수의 개수를 의미한다(Lee et al., 2005).

    3수치해석 및 결과분석

    3.1해석 모델

    전술한 바와 같이 역문제 해석을 통해 손상을 추 정하기 위해서는 응력, 변위, 고유진동수 및 모드 형 상 등의 비교할 수 있는 데이터가 필요하다. 또한, 손상의 유무에 따라 데이터의 변화가 있어야 손상의 위치를 정확하게 찾을 수 있다. 본 논문에서는 고유 진동수의 1번 모드형상의 Z축 좌표를 비교하였으며 값의 차이를 정량적으로 판단하기 위해 상관계수를 도출하였다. 그 결과 해석에서 수행한 모든 적층배열 에서 약 0.97~0.99의 상관계수가 도출되었다. 이는 복합소재가 보강섬유의 손상에도 고유진동수의 변화 가 매우 작다는 것을 의미한다. 반면, 손상을 추정하 는 관점에서는 상관계수가 높다는 것은 오차가 작다 는 것을 의미하므로 데이터 비교를 통하여 손상을 추정하기가 난해한 환경임을 보여준다. 본 연구에서 는 제안한 알고리즘의 효율성을 입증하기 위하여 매 우 적은 데이터의 오차 환경에도 불구하고 보강섬유 의 손상 분포 형상을 추정하고자 한다. Table 1은 해 석을 위해 사용한 GFRP 적층판의 재료적 물성을 나 타낸다.

    GFRP 적층판은 인접하는 두 변에 대하여 고정 경 계조건을 갖으며, 가로길이는 1.25m, 세로길이는 1.0m, 그리고 판의 두께 0.01m이다. 복합재료는 동일 한 재료를 사용하더라도 적층배열, 함침비율에 따라 서 상이한 강성을 보이기 때문에 강도를 예측하기에 다소 어려움이 있다. 그러므로 구조물의 형태와 재료 가 같더라도 적층각도에 따라서 수렴성에 차이가 있 을 수 있다 (Reddy, 2004). 따라서 본 연구에서는 함 침비율은 일반적으로 많이 사용되는 값인 50%로 정 의하였고, 해석 케이스는 [0]4N, [0/90]S, [15/-75]S, [30/-60]S, [45/-45]S으로 적층각도에 따라 나누었다. 손상의 정의는 적층배열에 따라 손상의 위치를 다른 곳에 위치시켰으며 손상의 규모도 각각 다르게 정의 하였다.

    역해석에 적용된 유전자 알고리즘의 초기가정은 Table 2와 같다. 초기 변수 생성은 해의 경계조건을 만족시키는 랜덤초기 변수를 생성하는 옵션을 사용하 였으며 룰렛 선택법을 사용하였고 교차 부분은 목적 함수의 값이 낮은 변수에 가중을 두어 해석을 하는 옵션을 사용하였다. 유전자 알고리즘의 경우, 일반적 으로 해석 초기에 목적함수 값이 작은 값이 나오면 서 국지해로 빠질 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 엘리트와 돌연 변이를 생성시켜 해석을 수행 하였다.

    Table 3은 GFRP 적층판의 알고리즘 역문제 해석 결과를 보여준다. [0]4N의 적층배열의 경우에는 가정 한 손상에 비해서 x축 방향으로 약간 퍼진 형상으로 추정하긴 했지만 손상부의 최대치의 위치(좌표)는 거 의 정확하게 찾아냄을 알 수 있다. [0/90]S의 경우에 는 손상형태가 전체적으로 약간 퍼진 형태로 추정하 나, 앞의 경우와 유사하게 최대 손상부 위치는 정확 하게 추정하였다. 또한, [15/-75]S, [30/-60]S, 그리고 [45/-45]S의 경우에는 손상의 위치와 규모가 거의 일 치하게 추정하였다.

    Fig. 2는 역문제를 해결하기 위한 유전자 알고리즘 의 실행과정에서 증가하는 세대별 추정 결과를 보여 준다. 그림에서 한 세대에서 개체만큼의 해가 생성이 되면 그 값들의 목적함수의 결과에 따라 적합도의 평균값을 계산하게 되는데 그 값을 나타낸다. Fig. 2(a)에서 50세대 이하에서 적합도의 평균값이 거의 0 에 가까운 값을 나타낸다. 이러한 결과는 알고리즘 수행 초기에 이미 역문제의 해를 찾았다는 것을 의 미한다. 그러나, 해석 초기에 국지해로 빠질 수 있기 때문에 돌연변이, 엘리트, 새로운 유전자 유입을 통해 서 50세대 이후 다시 적합도의 평균값이 증가하는 것을 관찰할 수 있다.

    3.2해석 결과

    Fig. 3 및 Fig. 4는 각각 [15/-75]S, [45/-45]S의 경우 에 대하여 각 세대별 손상추정 결과를 보여준다. [15/-75]S인 경우에는 50세대에서 손상의 위치는 거의 정확하게 찾아내는 것으로 나타났고, 그 후에는 점점 손상의 규모를 거의 정확하게 찾아냈다. [45/-45]S의 경우에는 3번째 세대에서 위치는 찾아내고 50번째 세 대에서 손상 형상의 정도 및 위치를 정확하게 추정했 다. 이러한 결과는 적층배열의 변화는 손상을 추정하 는데 민감하다는 것을 보여준다.

    4요약 및 결론

    본 연구에서는 적층된 GFRP 박판구조에 이변량 Gamma 밀도 함수를 이용하여 보강섬유의 탄성계수 저하를 손상을 정의하고, 전향 해석은 범용 유한요소 해석프로그램인 ABAQUS를 연동하고, 역문제는 유 전자 알고리즘을 적용하여 손상의 위치와 정도를 추 정하였다.

    손상 전 후의 동적특성 데이터에 대한 상관계수가 매우 높아서 데이터의 오류가 작음에도 불구하고 고 유진동수의 1번 모드형상의 Z축 좌표값 만으로 손상 의 위치는 초기에 추정하였으며, 손상 정도는 50번째 세대 전후에서 추정하였다. 최종적으로 모든 적층배 열에서 손상 및 규모를 정확하게 찾을 수 있었다. 또 한, 수정된 보강섬유의 손상 분포 형상은 이변량 Gamma 밀도 함수로 가정하였으며, 이는 비대칭을 비롯한 다양한 형상을 갖는 손상 분포를 가정할 수 있는 장점을 갖는다. 또한, 4개의 미지수를 추정하는 것으로 손상의 정도와 위치를 추정할 수 있으므로 수치해석적 측면에서 효율적이다.

    본 연구는 수치해석적 관점에서 유한요소 구조 해석을 통하여 이론적으로 추출한 측정데이터를 기반 으로 손상을 추정하였으나, 실제 구조물의 데이터를 이용하여 손상을 추정하는 후속연구가 진행되어야 될 것이다.

    ACKNOWLEDGMENT

    본 연구는 2015년도 정부(미래창조과학부)의 재원 으로 한국연구재단 기초연구사업의 지원을 받아 수행 된 연구임(No.2015R1A2A2A01005637).

    Figure

    KOSACS-7-30_F1.gif
    Damage distribution shape using the bi-variate Gamma density function
    KOSACS-7-30_F2.gif
    Average distance and fitness values for increased numbers of generation ([0]4N)
    KOSACS-7-30_F3.gif
    Damage detections in each generation ([0]4N)
    KOSACS-7-30_F4.gif
    Damage detections in each generation ([0/90]S)

    Table

    Material properties
    Genetic algorithm options for analysis case
    Damage detections for different layup sequences

    Reference

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