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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.9 No.1 pp.1-6
DOI : https://doi.org/10.11004/kosacs.2018.9.1.001

A Study on the Natural Frequency of a Laminated Cantilever Beam

Kim Yun Young1, Bong Koo Han2
1Assistant Professor, Division of Mechanical, Automotive, and Robot Component Engineering, Busan, Korea
2Professor, Department of Civil Engineering, Seoul National University of Science & Technology, Seoul, Korea
Corresponding author: Han, Bong Koo Department of Civil Engineering, Seoul National University of Science & Technology, 232 Gongneung-ro, Nowon-gu, Seoul 139-743, Korea. +82-2-970-6577, +82-2-948-0043, bkhan@seoultech.ac.kr
August 20, 2017 December 30, 2017 January 16, 2018

Abstract


Theories for composite structures are too difficult for design engineers for construction. The purpose of this paper is to demonstrate to the practicing engineers, how to apply the advanced composite materials theory to the structures. In this study, the natural frequency of a laminated cantilever beam was studied. An ultrasonic testing platform was employed to resonate the beam, and its time domain signal was optically measured. The natural frequency was quantified through the fast Fourier transform of the waveform, and the result showed good agreement with a theoretical estimation from the Euler-Bernoulli beam theory. This study is expected to provide a dynamic evaluation technique for laminated cantilever beam structures.



적층 캔틸레버보의 고유진동수에 대한 연구

김 윤영1, 한 봉구2
1동의대학교 기계자동차로봇부품공학부
2서울과학기술대학교 건설시스템공학과

초록


    Seoul National University of Science and Technology

    1. 서 론

    오늘날까지 고유진동수 계산은 Rayleigh 방법이 주로 사용되었다. 이는 에너지 보존의 법칙의 이용으로 ‘운 동에너지 = 변형에너지’ 라는 식에 근거를 두고 있어 자유도(degree of freedom)가 하나인 경우에만 정확 한 값을 주게 되므로, 무한개의 자유도를 갖는 보나 탄성체 구조재료 등은 정확한 해를 구할 수가 없었다. 균등단면에 균등하중을 받는 단순지지된 보는 구조형 태를 sine 함수로 표시할 수 있어서 구차하게나마 고 유진동수의 계산을 가능케 하였다.

    1970년 Ashton과 Anderson은 Boron-Epoxy 판 에 대한 고유진동모드를 연구하였고, Rayleigh-Ritz 방법을 이용한 고유주파수와 모드형태에 대한 해석 결과를, 완전고정 경계조건이고 중립면에 대칭인, 적 층 비등방성 판에 대한 실험적 연구결과와 비교하였 다. 그러나 이것은 좌굴하중, 고유주파수, 모드형태, 변위 등을 결정하는데 만족스럽지만 비등방성이 매우 큰 판에 대한 응력과 모멘트 등에는 적절하지 못했다.

    1970년 Whitney와 Leissa는 적층된 비등방성 판 의 구성방정식을 정식화 하였다(Whitney and Leissa, 1970). Whitney는 횡방향 하중을 받는 경계조건이 고 정지지와 단순지지인 적층된 비등방성 판을 Reissner 와 Stavsky의 지배방정식을 사용하여 해석하였다. 그 는 삼각함수로 이루어진 Fourier급수를 정밀해로 사 용하였으나 수치해석 결과는 Fourier급수에서 가정된 충분한 항의 각 계수에 대해 여러 개의 선형대수방정 식을 풀어야 했다. 그는 경계조건이 휨인장연계 강성 효과에 영향이 없다는 결론을 내렸다. 또한 복합 적 층판에 대한 가장 포괄적인 설명은 Ashton과 Whitney 에 의해 저술된 “Theory of Laminated Plates”에 자세히 기술되어 있다.

    Kim은 임의의 단면과 임의의 경계조건을 갖는 보 와 탑구조에 대한 새로운 진동해석 방법을 발표하였 다(Kim, 1994). 이 이론은 임의의 경계조건을 갖는 보의 제1모드 진동과 제2모드 이상의 진동주파수를 구하였고 또한 횡방향 전단 변형을 고려한 두꺼운 적 층판에 대해서 연구를 수행하였으며, 얇은 판의 진동 문제를 해석한 후에 두꺼운 판의 진동문제를 해석하 는 간편한 공식을 제시하였고, 그 결과 복합 적층판 에 대한 간편한 해석방법을 제시한바 있다(Han and Kim, 2004). 이러한 연구는 이론적인 면이나 실험적 인 면에서도 복합 적층판의 진동문제를 해결하기 위 한 연구가 계속되고 있다(Han and Kim, 2010; Kim and Han, 2014; Han and Jang, 2016).

    1981년 Leissa의 연구에서는 변형 가능한 비등방 성 얇은 판 층으로 구성된 고전적인 적층이론을 포함 하고 있다. 각 적층의 가정에 있어서 많은 연구자들은 변형전의 중간 면에 대해 수직인 면이 변형 후에도 수직으로 유지된다는 Kirchhoffs의 공식을 가정하였 다. 고전적 적층이론에서는 횡전단변형률을 고려하지 않으므로 인하여 비교적 두꺼운 적층판 뿐만 아니라 매우 두꺼운 적층판에서 상당히 부정확한 진동해를 얻게 된다. 횡전단변형을 포함하는 적층판의 진동해석 은 수학적인 모델의 정확도가 요구된다. 이후 많은 연 구자들은 앏은판과 중간두께의 적층판에 일정한 횡전 단변형을 가지고 있는 면내의 관성과 함께 0을 가지 는 횡수직변형률을 가정하는 모델을 채택하고 있다.

    적층 마이크로 캔틸레버보는 일반적으로는 실리콘 재질로 만들어지지만, 응용에 따라 질화규소(Si3N4)와 같은 세라믹 재료(Ali et al., 2011)나 알루미늄 (Comella and Scanlon, 2000) 혹은 크로뮴(Bourouina et al., 2016)과 같은 금속 재료로 이루어진다. 특히, SiO2 재질의 캔틸레버보를 사용하면 실리콘 대비 낮 은 탄성계수로 인하여 더욱 큰 변위를 얻을 수 있으므 로 검출 민감도를 향상시킬 수 있다. 이처럼 마이크로 캔틸레버보가 적층 보의 구조를 갖게 되면 유효 휨강 성 및 질량의 변화에 따라 그 동적거동이 달라진다.

    본 연구에서는 적층 캔틸레버보의 동적특성을 평 가하고 실험을 통하여 적층 캔틸레버보의 고유진동수 를 측정하고, 그 결과를 보 이론으로 구한 이론해와 비교함으로써 실험 결과의 타당성을 검증하고자 한다.

    2. 적용 이론

    2.1 Rayleigh 이론

    모드 형이 기본 모드에 근사값으로서 독립적으로 선 택된다면, 가정한 형이 정규모드로 확장함에 따라 형 을 확장할 수 있다. 즉 y = y(x)는 가정한 형으로 다 음과 같이 표현할 수 있다.

    y ( x ) = y 1 ( x ) + α 2 y 2 ( x ) + a 3 y 3 ( x ) + ...
    (1)

    y1 (x), y2 (x), 기타 모드와 a2, a3 등은 적절하지 만 미결의 상수나 승수이고, 만일 i번째 모드의 점 x 에서의 처짐이 Yi(X)라면,시스템에 관한 하중은 길 이의 단위당 질량인 μ w i 2 y i 이다. 즉 μ w i 2 y i 의 하중은 최대 처짐을 발생시키고, 가정한 모드 형태는 어떤 점에서도 상응하는 하중이다.

    P ( x ) = μ w 1 2 y 1 ( x ) + μ a 2 w 2 2 y 2 ( x ) + μ a 3 w 3 2 y 3 ( x ) + ...
    (2)

    보의 경우에서 이것을 보면 다음과 같은 외부의 하중에 의해 하게 되는 일이 있다.

    W = 1 2 0 L P ( x ) y ( x ) d x
    (3)

    이 일은 시스템의 내부에너지와 같다.

    U max = W = 1 2 0 L ( μ w 1 2 y 1 + μ a 2 w 2 2 y 2 + μ a 3 w 3 2 y 3 + ... ) ( y 1 + a 2 y 2 + a 3 y 3 + ... ) d x
    (4)

    모드의 직각적인 관점에서 볼 때 이는 증명가능하 고, 항들의 교차 곱은 적분에 의해 소거될 수 있으며

    U m = w 1 2 2 0 L μ y 1 2 d x + a 2 2 w 2 2 2 0 L μ y 2 2 d x + a 3 2 w 3 2 2 0 L μ y 3 2 d x + ...
    (5)

    순환성의 진동수 w를 가지고 진동하는 동적 에너 지 시스템은 아래와 같은 식을 이용하여

    T m = 1 2 m v 2 = 1 2 0 L μ w 2 y 2 d x
    (6)

    y를 얻기 위해 정규모드를 치환한 것을 얻을 수 있다.

    T m = w 2 2 0 L μ ( y 1 + a 2 y 2 + a 3 y 3 + ... ) 2 d x
    (7)

    다시 직각상태의 구조를 이용하면, 이는 다음과 같이 된다.

    T max = w 2 2 ( 0 L μ y 1 2 d x + a 2 2 0 L μ y 2 2 d x + a 3 2 0 L μ y 3 2 d x + ... )
    (8)

    여기에 Rayleigh의 이론을 적용하여, TmaxUmax 를 같게 하면 w2을 얻기 위한 방정식을 아래와 같은 방법으로 해결할 수 있다.

    w 2 = w 1 2 0 L μ y 1 2 d x + a 2 2 ( w 2 w 1 ) 2 0 L μ y 2 2 d x + a 3 2 ( w 3 w 1 ) 2 0 L μ y 3 2 d x + ... 0 L μ y 3 2 d x + a 2 2 0 L μ y 2 2 d x + a 3 2 0 L μ y 3 2 d x + ...
    (9)

    w2 > w1, w3 > w1 등을 통해 식 (9)의 분자 각항 을 살펴보면 분모에 상응하는 항들보다 같거나 크게 되므로 미분계수는 1보다 같거나 크게 된다. 그러므 로 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

    w 2 = w 1 2 ( quotient 1 )
    (10)

    이 결과 w2 w 1 2 보다 작을 수 없다는 사실을 증 명할 수 있다.

    2.2 Euler-Bernoulli 보 이론

    Euler-Bernoulli 보이론에 따르면 임의의 시간 t에서 캔틸레버보 길이방향으로의 지점 x의 횡방향 변위 w(x,t)에 대한 운동방정식은 다음과 같이 기술된다.

    E I ( 4 w ( x , t ) x 4 ) + λ m 2 w ( x , t ) t 2 = 0
    (11)

    이 때, E는 보의 탄성계수를, I는 단면2차모멘트를 그리고 λm은 캔틸레버보의 선형질량밀도를 뜻한다. 또한, EI는 휨강성을 의미하며, λm은 밀도 ρ와 단면 적 A의 곱으로 나타낼 수 있다(λm =ρA).

    운동방정식을 풀기 위하여 변수분리법을 적용하여 해를 w(x,t) =X(x)T(t)의 형식으로 표시하고 식 (11) 에 대입하면 아래와 같이 표현된다.

    E I λ m X ( x ) 4 X ( x ) x 4 = 1 T ( t ) 2 T ( t ) t 2 = w n 2
    (12)

    이 때, wn은 각속도(rad/s)를 뜻한다. 이로부터 다 음의 식을 얻을 수 있다:

    4 X x 4 k n 2 = 0
    (13)

    식 (13)에서 kn은 다음과 같이 표현된다.

    k n 4 = ω n 2 λ m E I
    (14)

    따라서, 캔틸레버보의 n차 모드 고유진동수는 다 음과 같이 결정된다:

    f n = ( k n L ) 2 2 π E I λ m 1 L 2
    (15)

    여기서, 자유단-고정단(free-clamped) 경계조건을 갖는 캔틸레버보에 대하여 k1L = 1.875, k2L = 4.694 = k3L = 7.855 등의 값을 갖는다(Landau and Lifshitz, 1970).

    만일, 다층 구조를 갖는 캔틸레버보의 단면이 Fig. 1과 같다면 휨강성 EI는 각 층의 탄성계수 Ei와 단 면 2차모멘트 Ii를 고려한 등가 휨강성 (Ei)eq로 대체 되어야 한다. 즉,

    ( E I ) e q = E 1 I 1 + E 2 I 2 + E 3 I 3
    (16)

    각 층의 단면2모멘트는 평행축 정리를 사용하여 나타 내면 다음과 같다.

    I 1 = 1 12 b H 1 3 + b H 1 ( h n H 1 2 ) 2
    (17)
    I 2 = 1 12 b H 1 3 + b H 2 ( H 1 + H 2 2 h n ) 2
    (18)
    I 3 = 1 12 b H 3 3 + b H 3 ( H 1 + H 2 + H 3 2 h n ) 2
    (19)

    이 때, b는 캔틸레버보의 폭이다. 또한 중립축 hn 은 아래와 같이 기술된다.

    h n = E 1 H 1 2 / 2 + E 2 H 2 ( H 1 + H 2 / 2 ) + E 3 H 3 ( H 1 + H 2 + H 3 / 2 ) E 1 H 1 + E 2 H 2 + E 3 H 3
    (20)

    마찬가지로, 캔틸레버보의 선형질량밀도 λm는 각 층을 구성하고 있는 재료의 밀도를 포함한 등가 선형 질량밀도 (λm )eq로 대체되어야 한다:

    ( λ m ) e q = b ( ρ 1 H 1 + ρ 2 H 2 + ρ 3 H 3 )
    (21)

    이 때, ρi는 각 층의 재료가 갖는 밀도이다.

    3. 실험 및 결과분석

    3.1 시험시편

    시험시편은 Nanoworld AG 社에서 제작한 상용 프로 브(Model SD-USC-F1.2-k7.3-TL)를 사용하였으며, 이는 석영 재질의 캔틸레버보의 상⋅하부 표면에 금 박막이 증착된 다층 구조를 가지고 있다. 치수와 물 성에 관한 자세한 정보는 Table 1과 Table 2에 기재 되어 있다.

    3.2 실험장치 및 방법

    본 연구의 실험장치의 개략도는 Fig. 2와 같다.

    마이크로 캔틸레버보를 공진시키기 위하여 Ritec Inc. 회사의 RPR-4000 초음파 펄서(pulser)를 사용하 였으며, 이는 50 kHz ~ 20 MHz 주파수 범위의 톤버 스트(tone burst) 파형을 생성하여 탐촉자에 전달한다. 가진 주파수는 마이크로 캔틸레버보의 고유진동수와 동일하게 설정하였다. 또한, 5 사이클의 사인파(sine wave)신호를 200 Hz의 반복율로 입력하여 이전 신호 로부터 가진된 마이크로 캔틸레버보의 진동이 완전히 멈춘 후 다음 신호가 시작하도록 하였다. 마이크로 캔 틸레버보는 초음파 탐촉자의 표면에 설치되었다.

    공진 신호를 수신하기 위하여 레이저 간섭계를 구 축하였다. 100 mW의 출력을 갖는 다이오드 펌프 연 속파(continuous wave) 레이저를 사용하였으며, 그 파장은 532 nm이다. 레이저 광을 50 : 50 빔 스플리 터(beam splitter)를 이용하여 시험시편의 표면과 반 사 거울에 각각 분배하여 조사하였으며, 50배율의 현 미경 렌즈를 이용하여 마이크로 캔틸레버보의 표면에 집속하였다. 반사된 광은 간섭무늬를 형성하여 광검출 기에서 전기적 신호로 변환되어 오실로스코프에서 시 간 영역 파형의 형태로 검출된다. 광검출기와 오실로 스코프의 대역폭은 각각 50 MHz와 350 MHz이므로 캔틸레버보의 진동 신호를 수신하는 데에 제약을 주 지 않는다. 반사 거울은 피에조스택(piezo stack)에 장착되었으며, PID (proportional integral derivative) 제어기를 사용하여 광경로차 보상 회로를 구성함으로 써 실험 중 외란으로부터 발생하는 저주파 잡음신호 를 제거하였다. 이처럼 수집한 파형을 3000번 평균하 여 저장하였다.

    3.3 실험결과 및 분석

    Fig. 3은 실험으로부터 측정된 마이크로 캔틸레버보 의 공진 신호에 대한 시간 영역 파형을 보여준다.

    초음파 펄서로부터 가진 신호가 입력됨에 따라 변 위가 증가하는 것을 볼 수 있으며, 5 사이클의 신호 입력이 끝나면 에너지가 소진되는 과정에서 진폭이 감소하는 것을 확인할 수 있다.

    Fig. 4는 파형을 Fast Fourier Transform (FFT)을 하여 주파수 응답 특성을 살펴본 결과이다.

    이로부터 마이크로 캔틸레버보가 1.350 MHz의 고유진 동수를 갖는 것을 알 수 있다. 또한, 캔틸레버보의 품 질인자 Q 는 다음과 같이 계산된다. Q =f/∆f= 143.6. 여기서 ∆f은 반폭치를 뜻한다. 식 (15)의 이론해를 1 차모드의 상수값인 k1L = 1.875에 대하여 Table 1과 Table 2에 기재된 값을 사용해 계산하면 f = 1.339 MHz의 값이 얻어지는데, 이는 실험결과와 비교하였 을 때에 0.8%의 오차에 해당하므로 본 실험방법은 적층 캔틸레버보의 동적 특성을 아주 높은 정확도로 측정할 수 있음을 입증한다.

    4. 결 론

    본 연구에서는 실험을 통하여 적층 캔틸레버보의 고 유진동수를 측정하였다. Euler–Bernoulli 보 이론에 의한 이론해와 실험결과를 비교하였을 때에 0.8%의 오차를 확인하였으며, 이는 본 실험방법이 적층 캔틸 레버보의 동적 특성을 높은 정확도로 측정할 수 있음 을 알 수 있었다.

    ACKNOWLEDGMENT

    This study was supported by the Research Program funded by the Seoul National University of Science and Technology.

    Figure

    KOSACS-9-1_F1.gif
    A schematic of the cross-section of a laminated cantilever beam
    KOSACS-9-1_F2.gif
    A schematic of the experimental setup (BS: Beam Splitter; CM: Cantilever Beam; OBJ: Microscope Objective Lens; PD: Photodetector; PM: Piezo Mirror; UT: Ultrasonic Transducer)
    KOSACS-9-1_F3.gif
    Time domain waveform of the resonating laminated cantilever beam
    KOSACS-9-1_F4.gif
    Frequency response of the laminated cantilever beam

    Table

    Dimensions of the cantilever microbeam
    Properties of the cantilever microbeam

    Reference

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