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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.10 No.2 pp.10-15
DOI : https://doi.org/10.11004/kosacs.2019.10.2.010

Multi-Scale Nonlinear Dynamic Analysis of Laminated CNTFPC Composite Structures Containing Central Cutout

Sang-Youl Lee1, Wan-Sang Yoo2, Ji-Gwang Hwang2
1Associate Professor, Department of Civil Engineering, Andong National University, Andong, Korea
2Ph.D. Student, Department of Civil Engineering, Andong National University, Andong, Korea

본 논문에 대한 토의를 2019년 05월 31일까지 학회로 보내주시면 2019년 06월호에 토론결과를 게재하겠습니다.


Corresponding author: Lee, Sang-Youl Department of Civil Engineering, Andong National University, 1375 Gyeongdong-ro, Andong, Gyoungsangbuk-do, 760-749, Korea Tel: +82-54-820-5847, Fax: +82-54-820-6255, E-mail: lsy@anu.ac.kr
April 7, 2019 April 9, 2019 April 9, 2019

Abstract


This study performed geometrically nonlinear transient analyses of carbon nanotube/fiber/polymer composite (CNTFPC) plates containing a central cutout. A multiscale analysis using the Hewitt and Malherbe model was performed to determine the multi-walled carbon nanotube (MWCNT) weight ratios and cutout sizes. Based on the first-order shear deformation plate theory (FSDT), the Newmark method and Newton-Raphson iteration were used for the nonlinear dynamic solution. The proposed approach in this study has been verified by previous studies. Parametric results showed the significance of a proper MWCNT ratio and curvature for better structural performance on the nonlinear dynamic behaviors of CNTFPC plates with a cutout.



중앙개구부를 갖는 CNTFPC 복합재 적층구조의 멀티스케일 비선형 동적 해석

이 상열1, 유 완상2, 황 지광2
1안동대학교 토목공학과 부교수
2안동대학교 토목공학과 박사과정

초록


본 연구에서는 적층된 중앙개구부를 갖는 CNTFPC 복합재 판에 대하여 기하학적 비선형 동적 해석을 수행하였다. Hewitt and Malherbe 멀티스케일 모델을 기반으로 MWCNT의 함유 비율과 중앙개구부의 크기 변화에 따른 영향을 분석하였다. 1차전단변형 판이론에 근거하여, Newmark 방법과 Newton-Raphson 반복기법이 비선형 동적해석을 위하여 적용되었다. 본 연구에서 제안한 방법 은 기존 문헌으로부터 도출 결과와 비교 검증하였다. 수치해석 예제는 MWCNT의 적절한 함유량 및 적층된 CNTFPC 구조의 구조성 능의 향상시킬 수 있는 상호 관계를 상세 규명하였다.



    National Research Foundation of Korea
    2018R1D1A1B07050080

    1. 서 론

    탄소나노튜브(CNT)는 합성하는 조건에 따라 단일벽 탄소나노튜브(Single-Walled Carbon Nanotube: SWCNT) 와 다중벽 탄소나노튜브(Multi-Walled Carbon Nanotube: MWCNT)로 나눈다. 단일벽 탄소나노튜브는 높은 강 성, 강도 및 연신율을 보유하고 있으나, 1g에 약 500$ 정도로 고가이므로 연구용이나 특수용도로만 적용되고 있다. 반면, 다중벽 탄소나노튜브는 단일벽 탄소나노튜브에 비하여 성능이 다소 떨어지지만, 1kg에 150$ 정도로 저렴하여 산업용으로 적용하기에 충분한 경제성을 확보하고 있다. 특히, 내진보강을 비롯한 건설구조용 보강재로서 다중벽 탄소나노튜브 의 역할은 크게 기대되고 있다. 그러나 이러한 탄소 나노튜브가 적용된 구조부재에 대한 다양한 거동 연 구는 아직 미미한 실정이다. 특히, 비선형 동적 거동 특성에 대한 해석적 연구는 초기단계라 할 수 있다.

    CNT로 보강하지 않은 일반적인 복합재 구조에 대한 기하학적 비선형 해석은 여러 연구가 진행되었 다(Lam et. al., 1993;Khalil et al., 1988;Chang et al., 1991). Ji and Lee (2011)는 중앙개구부를 갖는 직사각 형 적층판의 비선형 동적거동을 분석하였다. 그러나 이와 같은 연구들은 CNT가 적용된 복합재가 아닌 일 반적인 복합재로 이루어진 구조에 대한 경우에 해당 한다. 본 연구에서는 다중벽 탄소나노튜브가 적용된 CNTFPC (Carbon Nanotubes reinforced Fiber Polymer Composite) 구조에 대하여 멀티스케일이론을 적용한 다(Esawi and Farag, 2007;Rafiee et al., 2014; Lee, 2019). 다음으로 개구부를 갖는 CNTFPC 복합재 구 조에 대한 비선형 동적 해석을 수행하며, 일차전단 변형판이론(FSDT)을 적용하여 해석의 정확성을 높이 고자 한다. 본 연구의 목적은 내진보강 적용을 목표 로 MWCNT의 함유량 및 개구부 크기 변화가 비선 형 동적 거동에 미치는 영향을 규명하는 것이다.

    2. 기본 이론

    본 연구에서는 MWCNT가 적용된 멀티스케일 해석을 수행하였으며, Hewitt and Malherbe의 이론이 적용되 었다. Hewitt and Malherbe의 이론의 상세한 내용은 지면상 생략하며 참고문헌을 참조하기로 한다(Lee, 2018). Fig. 1은 중앙개구부를 갖는 MWCNT 보강 복 합재 판의 좌표계를 보여준다. MWCNT는 에폭시에 분산되어 있으며, 나노크기의 입자로서 육안으로는 형상을 관찰할 수 없다.

    FSDT에 기반한 비선형항을 포함한 변형률 및 변 위 관계는 식 (1)과 같다(Reddy, 2006). 식 (1)에서, u0, υ0, 그리고 w0는 직교 좌표계에서의 중립면 변위 를, ϕ1ϕ2는 두께 방향(z)으로의 전단변형에 대한 회전각을 각각 의미한다.

    { ξ 1 , ξ 1 ξ 2 , ξ 2 γ ξ 2 , ξ 3 γ ξ 1 , ξ 3 0 γ ξ 1 , ξ 2 } = { ξ 1 , ξ 1 0 ξ 2 , ξ 2 0 γ ξ 2 , ξ 3 0 γ ξ 1 , ξ 3 γ ξ 1 , ξ 2 0 } + z { ξ 1 , ξ 1 1 ξ 2 , ξ 2 1 0 0 γ ξ 1 , ξ 2 1 } = { u 0 ξ 1 + 1 2 ( w 0 ξ 1 ) 2 υ 0 ξ 2 + 1 2 ( w 0 ξ 2 ) 2 w 0 ξ 2 + ϕ ξ 2 w 0 ξ 1 + ϕ ξ 1 u 0 ξ 2 + υ 0 ξ 1 + w 0 ξ 1 + w 0 ξ 2 } + z { ϕ ξ 1 ξ 1 ϕ ξ 2 ξ 2 0 0 ϕ ξ 1 ξ 2 + ϕ ξ 2 ξ 1 }
    (1)

    식 (2)~(4)는 임의의 화이버 보강각도 변화에 대 한 복합재 구조에 대한 단면력과 변형률과의 관계를 보여준다. 식에서 Aij, DijBij는 판의 면내 및 면 외강성, 그리고 연계강성을 각각 의미한다.

    { N ξ 1 , ξ 1 N ξ 2 , ξ 2 N ξ 1 , ξ 2 } = [ A 11 A 12 A 16 A 12 A 22 A 26 A 16 A 26 A 66 ] { ξ 1 , ξ 1 0 ξ 2 , ξ 2 0 γ ξ 1 , ξ 2 0 }
    (2)

    { M ξ 1 , ξ 1 M ξ 2 , ξ 2 M ξ 1 , ξ 2 } = [ D 11 D 12 D 16 D 12 D 22 D 26 D 16 D 26 D 66 ] { ξ 1 , ξ 1 1 ξ 2 , ξ 2 1 γ ξ 1 , ξ 2 1 }
    (3)

    { Q ξ 2 Q ξ 1 } = K s [ A 44 A 45 A 45 A 55 ] { γ ξ 2 , ξ 3 0 γ ξ 1 , ξ 3 0 }
    (4)

    여기서, {N}, {M}, 그리고 {Q}는 면내력, 모멘 트, 그리고 전단력을, Ks는 FSDT로부터의 전단보정 계수를 각각 의미한다.

    3. 비선형 동적 유한요소법

    본 연구는 FSDT를 기반으로 절점당 5개의 자유도(u, v, w, ϕ1, ϕ2)를 갖는 Non-conforming 요소를 사용하 였으며 감쇠는 고려하지 않았다. 식 (5)는 이러한 경 우에 대한 동적 평형방정식을 보여준다.

    [ M ] { Δ ¨ } + [ K ] { Δ } = { F }
    (5)

    여기서, [M], [K], 그리고 {F}는 시스템의 질량, 강성 및 외부 동적하중 벡터이다. 동적 평형방정식 의 해는 뉴마크베타 방법을 적용하였으며, 각 분할 시간대에 대하여 식으로 정리하면 다음과 같다.

    [ K ^ ( { Δ } s + 1 ) ] { Δ } s + 1 = { F ^ } s , s + 1
    (6)

    여기서,

    [ K ^ ( { Δ } s + 1 ) ] { Δ } s + 1 = [ K ( { Δ } s + 1 ) ] + a 3 [ M ] s + 1 + a 6 [ C ] s + 1 { F ^ } s , s + 1 = { F } s + 1 + [ M ] s + 1 { Φ } s + [ C ] s + 1 { Ω } s { Φ } s = a 3 { Δ } s + a 4 { Δ ˙ } s + a 5 { Δ ¨ } s { Ω } s = a 6 { Δ } s + a 7 { Δ ˙ } s + a 8 { Δ ¨ } s 이고, a 3 = 1 β ( Δ t ) 2 , a 4 = a 3 Δ t , a 5 = 1 γ 1 a 6 = α β Δ t , a 7 = α β 1 , a 8 = Δ t ( α γ 1 ) 이며 , γ = 2 β

    이다.

    (r+1)번째에서의 증분 해{δ∆}를 위한 선형 방정식 에 대하여 접선강도 [ K T ^ ] 및 잉여력 행렬 {R}을 적 용한다.

    { δ Δ } = [ K ^ T ( { Δ } s + 1 r ) ] 1 { R } s + 1 r ,
    (7)

    { R } s + 1 r = [ K ^ ( { Δ } s + 1 r ) ] { Δ } s + 1 r { F ^ } s , s + 1
    (8)

    [ K ^ T ( { Δ } s + 1 r ) ] [ { R } { Δ } ] s + 1 r = { Δ } [ K ^ ( { Δ } s + 1 r ) { Δ } s + 1 r { F ^ } s , s + 1 ] s + 1 r = K ^ ( { Δ } s + 1 r ) { Δ } s + 1 r { Δ } s + 1 r + K ^ ( { Δ } s + 1 r )
    (9)

    변위 증분방법에 의한 전체 해는 다음과 같다.

    { Δ } s + 1 r + 1 = { Δ } s + 1 r + { δ Δ }
    (10)

    위 식에서 기하학적 비선형 동적 해를 산정하기 위하여 접선강도 행렬은 가장 마지막으로 구한 해를 적용하는 것에 유의해야 한다. 또한, 잉여 벡터는 [ K ^ T ( { Δ } s + 1 r ) ] { Δ } s + 1 r { F ^ } s , s + 1 의 전 분할 시간대에 서의 해를 계산하는 데 있어 가장 마지막으로 구한 해로부터 산정된 값을 사용해야 한다. 또한 속도 및 가속도 벡터들은 주어진 시간대에서 반복계산의 수 렴이 이루어진 후에 최종 계산되어 다음 분할 시간 대로 넘어가게 된다.

    4. 수치해석 및 결과분석

    전술한 멀티스케일 이론을 적용하여, MWCNT의 함 유량에 대한 CNTFPC 복합재의 물성을 계산하였다. MWCNT의 탄성계수는 400GPa, 질량은 1,350kg/m3, 프아송비는 0.33이다. 또한, 두께는 0.34nm, 직경은 1.4nm, 그리고 길이는 25μm이다. CNTPFC 복합재에 대하여 에폭시 레진 및 E-glass 화이버가 적용되었다. 본 해석을 위하여 Lahey사에서 제공하는 Fortran 언 어를 사용하여 소스코드를 개발하였다. Table 1은 화 이버 함침량 Vf=0.8에 대하여 MWCNT 햠유량(wcnt) 에 따른 CNTFPC 구조의 재료물성 산정결과를 보여 준다. 여기서, E11, E22, G12 및 ρ는 CNTPFC 구조의 길이방향 탄성계수, 횡방향의 탄성계수, 면내 전단탄 성계수 및 질량을 각각 의미한다. 표에서 보는 바와 같이 MWCNT의 함유량이 증가함에 따라 물성은 증 가함을 확인할 수 있다. 그러나 SWCNT와 비교하였 을 때 소폭 증가한다(Lee, 2019). 특히 E11의 경우는 거의 변함이 없으며, E22 및 G12는 MWCNT의 함유량 이 5%인 경우, 0%인 경우보다 약 7.6% 증가한다. 따라서 MWCNT의 경우는 5% 이상의 함유량에 대하 여 성능 향상 효과를 가져올 것으로 예상된다.

    본 연구에서 개발한 소스 코드의 검증을 위하여, 기존 문헌의 결과와 비교하였다. Fig. 2는 동적 분포 하중을 받으며 4변 단순지지 경계조건을 갖는 일반 복합재 구형쉘의 무차원화된 동적 비선형 변위(w/q) 를 비교한 것이다. 사용된 물성은 횡방향의 탄성계 수(E22)는 106N/cm2이며, 길이방향 탄성계수(E11)와의 관계는 E11 = 25E22이다. 또한, 면내 전단탄성계수 (G12)와의 관계는 G12 = 0.5E22이고, 프아송비는 0.25이 다. 또한, [0/90]의 적층배열을 갖으며 비대칭 적층된 경우이다. 그림에서 보는 바와 같이 본 연구결과와 기존 문헌의 결과는 잘 일치하는 것을 알 수 있다.

    Fig. 3(a)~(e)은 MWCNT 함유량 비율 및 중앙개 구부 크기 변화에 따른 [0/90/90/0]으로 대칭 적층된 CNTFPC 복합재 판에 대하여 비선형 동적해석 결과 를 비교한 것이다. MWCNT의 함유량이 증가할수록 비선형 동적 변위는 감소하는 것으로 나타났다. 그 러나 감소하는 비율은 크지 않으며, 약 5% 함유량에 대하여 약 8~10%의 변위 감소를 보였다. 이는 전술 한 대로, MWCNT의 경우 1~2%의 함유량으로는 보 강효과가 크지 않음을 의미한다. 한편, 개구부 크기 에 따라 Figs. (d)~(e)와 같이 변위가 감소하는 경향 을 보이는데, 이는 개구부가 판의 중앙부에 발생함 에 따라 개구부의 크기가 증가할수록 개구부 외측에 서 계측되는 최대 동적변위는 감소할 수밖에 없기 때문으로 분석된다.

    Fig. 4는 곡률(R/a=5.0)을 갖는 판에 대하여 MWCNT 의 함유량에 따라 중앙부의 비선형 동적변위를 비교 한 것이다. 곡률을 갖는 경우에는 평판의 경우와는 달리 MWCNT 함유량에 대한 효과가 큼을 확인할 수 있다. 이는 MWCNT의 함유량에 따라서, 일방향 및 탄성계수와 전단탄성계수의 증가와 함께 기하학 적인 곡률의 연계효과로 인하여 비선형 동적거동에 중요한 영향을 주기 때문으로 분석된다. 이러한 기하 학적 형상은 중앙개구부의 크기에 따라 상호영향이 더욱 증가할 수 있다. 이러한 MWCNT 함유량 및 개 구부 크기에 따른 동적 특성의 변화는 Fig. 5로부터 더욱 명확하게 확인할 수 있다. 그림으로부터, 1%의 MWCNT 함유량은 CNTFPC 판의 고유진동 모드에 큰 변화를 가져오지 않으나, 개구부의 크기가 증가 할수록 모드에 큰 영향을 주고 있음을 알 수 있다. 이러한 거동은 화이버의 각도 변화에 따라서도 민감 하게 작용할 수 있다.

    5. 요약 및 결론

    본 연구에서는 MWCNT로 보강된 CNTFPC 복합재 적층판에 대하여 MWCNT 함유량 및 개구부의 크기 변화에 따른 유한요소 비선형 동적 해석을 수행하였 다. MWCNT의 경우는 SWCNT보다 레진 보강 시 성 능 향상의 정도가 떨어지지만, 비교적 저가이므로 내진보강 등의 용도로의 적용이 기대된다. 수치 해 석 예제로부터 다음과 같이 해석결과 및 결론을 요 약한다.

    • 1) MWCNT의 함유량이 증가함에 따라 재료 물성 은 증가하지만, SWCNT와 비교하였을 때 증가 의 정도는 작다. 특히 일방향 탄성계수는 거의 변함이 없으며, 이방향 탄성계수 및 전단탄성계 수는 MWCNT의 함유량이 5%인 경우, 0%인 경 우보다 약 7.6% 증가한다. 따라서 MWCNT의 경우는 5% 이상의 함유량에 대하여 성능 향 상 효과가 있을 것으로 판단된다.

    • 2) MWCNT의 함유량이 증가할수록 비선형 동적 변위는 감소하나, 감소하는 비율은 크지 않으며, 약 5% 함유량에 대하여 약 8~10%의 변위 감소 를 나타냈다. 따라서 MWCNT의 경우 1~2%의 함유량으로는 동적 보강효과가 크지 않음을 알 수 있었다.

    • 3) 곡률을 갖는 경우에는 MWCNT 함유량에 대 한 효과가 크다. 이는 MWCNT의 함유량에 따 라 재료물성의 증가와 함께 기하학적인 곡률 의 연계효과로 인하여 비선형 동적거동에 중 요한 영향을 주기 때문으로 분석된다.

    • 4) MWCNT 함유량은 CNTFPC 판의 고유진동 모 드에 큰 변화를 가져오지 않으나, 개구부의 크 기가 증가할수록 고유진동 모드에 큰 영향을 준다. 이러한 거동은 화이버의 각도 변화에 따 라서도 민감하게 작용할 수 있다.

    감사의 글

    본 연구는 한국연구재단 기초연구사업의 지원을 받 아 수행된 연구(No.2018R1D1A1B07050080)이며, 행정 안전부 장관의 방재안전분야 전문인력양성 사업으로 지원되었습니다.

    Figure

    KOSACS-10-2-10_F1.gif
    Geometry of a CNTFPC Plate
    KOSACS-10-2-10_F2.gif
    Non-dimensionalized Nonlinear Transient Displacement (w/q) of Composite Spherical Shells under Uniformly Distributed Load [0/90]
    KOSACS-10-2-10_F3.gif
    Nonlinear Transient Displacements (w/h) of CNTFPC Plates for Increased MWCNT Weight Ratios
    KOSACS-10-2-10_F4.gif
    Nonlinear Transient Displacements (w/h) of CNTFPC Spherical Shells (R/a=5.0) for Increased MWCNT Weight Ratios
    KOSACS-10-2-10_F5.gif
    Mode Shapes for [45/-45]s Free-clamped Composite Square Plates with Different Cutout Sizes and CNT Ratios

    Table

    Variation of Material Properties of CNTFPC Structures for the Different MWCNT Weight Ratios

    Reference

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