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ISSN : 2093-5145(Print)
ISSN : 2288-0232(Online)
Journal of the Korean Society for Advanced Composite Structures Vol.10 No.2 pp.31-41
DOI : https://doi.org/10.11004/kosacs.2019.10.2.031

Estimation of Probabilistic Distribution of Nonlinear Structural Response by Combining Gaussian Distributions

Jongseo Kim1, Hoyoon Kim2
1Postdoctoral Researcher, Supercomputing Modeling & Simulation Center, Korea Institute of Science and Technology Information, Daejeon, Korea
2Director, Supercomputing Modeling & Simulation Center, Korea Institute of Science and Technology Information, Daejeon, Korea

본 논문에 대한 토의를 2019년 05월 31일까지 학회로 보내주시면 2019년 06월호에 토론결과를 게재하겠습니다.


Corresponding author: Kim, Jongseo Supercomputing Modeling & Simulation Center, Korea Institute of Science and Technology Information, Daejeon, 34141, Korea Tel: +82-42-869-0884, Fax: +82-42-869-0769, E-mail: jskim99@kisti.re.kr
February 28, 2019 March 24, 2019 April 2, 2019

Abstract


This study presents a scheme for estimation of probabilistic distributions of nonlinear structural responses from the known distributions of input variables. Response functions are approximated by the first-order Taylor series at mean values of random variables, and at a combination of random variables corresponding to the cumulative probability of 99.99% on a response distribution, respectively. The probabilistic distributions are approximated as Gaussian models by the method of moment estimation. A connection function is employed to combine the two distributions. Coefficients of the function are determined using continuity conditions of a combined distribution. The proposed method is applied to a cable-supported bridge, and its goodness-of-fit is addressed by chi-square test. The distribution from proposed method is compared with those by the classical method of moment estimation.



가우시안 분포 결합에 의한 비선형 구조응답의 확률분포 추정

김 종서1, 김 호윤2
1한국과학기술정보연구원 가상설계센터 박사후연구원
2한국과학기술정보연구원 가상설계센터 센터장

초록


이 연구에서는 입력변수의 확률분포로부터 비선형 구조응답의 확률분포 추정방법을 제안한다. 응답함수를 확률변수 들의 평균점과 응답의 꼬리부분 상위 0.01%값에 기여하는 확률변수조합에서 각각 1차 테일러급수로 근사한다. 두 응답함수에 대해 모멘트법을 적용한 후 이를 가우시안 분포로 추정한다. 추정된 두 분포를 결합하기 위해 연결함수를 도입하고, 분포의 연 속조건을 적용하여 연결함수의 미정계수를 결정한다. 제안된 방법을 케이블 교량 예제에 적용하고, 카이제곱 검증을 이용하여 추정된 분포의 적합성을 확인한다. 기존의 모멘트법과 제안된 방법의 결과를 비교, 분석한다.



    1. 서 론

    구조 해석을 수행할 때 하중 또는 시스템 파라미터 의 불확실성을 고려하여 이들을 확률변수로 정의할 경우, 구조물의 응답은 확정 값(deterministic value)이 아닌 확률분포의 형태로 나타난다. 특히 복합 구조 (hybrid structure)의 경우 단일 구조에 비해 구성요소 들이 다양하기 때문에 각 요소들의 변동특성을 종합 적으로 반영하여 응답분포를 추정할 필요성이 있다.

    구조응답의 확률분포는 피로균열의 성장예측(Kim, 2004), 구조물 손상탐지(Kang, 2008) 등의 다양한 구 조문제에 유의미한 정보를 제공하므로 정확도 높은 추정이 요구된다.

    입력 확률변수와 구조응답의 관계를 정의하는 응 답함수(response function)가 선형함수(linear function) 로 정의되면 입력 확률변수의 확률분포로부터 구조 응답의 확률분포를 정확히 예측할 수 있다. 그러나 응답함수가 비선형함수(nonlinear function)로 정의되 면 구조응답에 대한 정확한 예측이 힘들며, 입력 확 률변수가 대칭분포의 형태로 정의되어도 응답분포는 비대칭 형태를 보이는 현상이 나타난다. 이러한 경 우, 모멘트법(method of moment estimation, MME)을 이용한 추정이나 MCS (Monte Carlo simulation) 등의 추출법을 통한 추정 등이 적용 가능하다(Benjamin and Cornell, 1970;Yang et al., 2002). 모멘트법의 경우, 각 확률변수들의 평균점에서 응답함수를 테일러급수 (Taylor series)로 근사하여 응답의 모멘트(평균, 분산 등)를 추정한 후 분포가정을 통해 그에 상응하는 모 수를 결정한다. 이때 응답분포의 평균점 부근에서는 상당히 정확한 추정이 가능하지만 평균점에서 멀어 질수록 추정의 정확도는 낮아지는 특징을 갖는다. MCS의 경우, 확률변수들로부터 다수의 무작위 자료 들의 조합을 생성하고 이를 구조 해석에 적용하여 응답분포를 추정한다. 분포 추정에 있어서 상당히 강력한 방법이지만 정확한 추정을 위해서는, 특히 분포의 꼬리영역까지 정확히 추정하기 위해서는 상 당한 구조 해석 횟수가 요구된다.

    응답분포의 평균영역은 중심성향(central tendency) 을 설명하며, 구조물의 건전성 평가(structural integrity evaluation) 등의 경우에서 정상 상태(undamaged state) 의 기준 역할을 한다. 한편 응답이 분포의 꼬리영역 (특히 우측 꼬리영역)으로 이동할수록 변위, 축력, 모 멘트 등과 같은 구조응답의 크기(magnitude)는 점점 증가하며 해당 부재(member) 또는 구조 시스템은 손 상(damaged state) 또는 파괴(fracture)에 가까워지게 된다(Kang, 2008). 꼬리영역 중에서도 특히 분포의 상위 0.01% 또는 누적분포함수(cumulative distribution function, CDF)의 0.9999에 대응하는 응답은 교량, 터 널 등의 목표 신뢰도 지수 3.72 (또는 파괴확률 10-4) 와 관련되어 그 중요성이 크다(Lee et al., 2016;Cho and Park, 2017).

    이와 같이 응답분포에서 평균영역과 꼬리영역은 각각의 중요성을 가지고 있기 때문에, 적은수의 구 조 해석으로 두 영역 모두를 정확도 높게 추정하는 것을 이 연구의 주요 목표로 설정하였다.

    2. 구조응답의 확률분포 추정

    서론에서 설명한 바와 같이 모멘트법은 적은 계산비 용으로 구조응답의 확률분포를 추정할 수 있는 방법 이다. 이 장에서는 모멘트법을 이용하여 응답분포의 평균영역과 꼬리영역 모두를 정확도 높게 추정하는 방법을 제시한다.

    우선 응답분포의 평균영역을 추정하기 위해 이 연구에서는 기존의 모멘트법(이하 ‘평균점 모멘트법’) 을 그대로 이용한다. 한편 응답분포의 꼬리영역을 추 정하기 위해, 모멘트법에서 시행하는 테일러급수 근 사를 확률변수들의 평균점이 아닌 응답의 꼬리 부분 에 기여하는 조합에 적용한다. 즉, 응답분포의 꼬리 부분 중에서도 신뢰도지수 3.72 (파괴확률 10-4)를 감 안하여 설정한 상위 0.01% (이하 ‘꼬리점(tail point)’) 에 대응하는 확률변수들의 조합(이하 ‘꼬리기여점 (contribution points)’)을 역으로 찾은 후, 이 점에서 응 답함수를 테일러급수로 근사한다. 근사된 응답함수를 이용하면 응답분포의 꼬리영역 추정이 가능하다.

    근사된 응답분포의 평균영역과 꼬리영역은 임의의 가우시안(정규) 분포(Gaussian distribution)의 일부로 각 각 가정하고, 그 사이는 연결분포(connection distribution) 를 도입한다.

    Fig. 1은 이 연구에서 수행하는 응답분포 추정절 차를 설명한다. 여기서, f Y m f Y t 는 응답분포의 평균 영역과 꼬리영역의 확률밀도함수(probability density function, PDF)이며 N ( μ Y m , σ Y m ) N ( μ Y t , σ Y t ) 로 각각 표현된다. Fig. 1(b)에서는 y = μ Y t + 3.72 σ Y t 에 대응하 는 x ˜ = μ X + ξ 을 찾아야 하며, 확률변수가 2개 이상일 경우 이 응답에 대응하는 확률변수 조합(combination) 을 역으로 찾아야 한다. 이를 위해서는 반복계산 또 는 순차적 방법이 요구된다. Fig. 1(b)를 좌측꼬리 부 근에 적용할 경우 동일하게 분포추정이 가능하다. 그러나 방법론의 간소화를 위해 이 연구에서는 우측 꼬리영역만을 연구범위로 설정하였다.

    만일 확률변수들이 정규분포(normal distribution)가 아닌 경우, Rackwitz Fiessler 변환(Rackwitz and Fiessler, 1976)을 이용하여 각 변수들을 정규분포로 근사한 후, 위 응답분포 추정절차를 계속해서 적용할 수 있다.

    이 연구에서 제안하는 방법은 모멘트법을 근간으 로 하고 있다. 모멘트법은 비선형성이 크지 않고 변 동계수(coefficient of variation)가 작을수록 해가 정확 해지는 특징이 있다(Kim, 2004). 이러한 방법은 완만 한(mild) 비선형성(Kim, 2014)을 가지는 케이블 교량 해석에 적합할 것으로 판단되어, 추후 3장에서는 제 안된 방법을 팬 타입(pan type) 케이블 교량에 적용 하여 그 타당성을 입증하고자 한다.

    2.1 응답함수의 테일러급수 근사

    입력 확률변수와 구조응답의 관계를 정의하는 응답 함수가 비선형함수이면 이를 명시적(explicit) 또는 닫 힌 형식(closed form)으로 정의하기가 쉽지 않기 때문 에, 이 연구에서는 1차 테일러급수를 이용하여 응답 함수를 근사하였다.

    단일 확률변수 X 의 임의값 x가 응답 Yy에 대응될 때, x ˜ 에서 응답함수를 1차 테일러급수로 근 사하면 다음과 같다.

    y = g ( x ) g ( x ˜ ) + ( g x ) | x ˜ ( x x ˜ )
    (1)

    위 식을 다변수 확률변수들의 임의값 x 1 , x 2 , , x n 에 대해 확장하면, x ˜ i 에서 응답함수의 1차 테일러급 수 근사는 식 (2)와 같이 표현된다.

    y = g ( x 1 , x 2 , , x n ) g ( x ˜ 1 , x ˜ 2 , , x ˜ n ) + i = 1 n ( g x i ) | x ˜ i ( x i x ˜ i )
    (2)

    식 (1)와 식 (2)에서, 응답함수를 구하기 위해서는 민감도 ( g x ) | x ˜ 또는 ( g x ) | x ˜ i 의 계산이 동반된다.

    2.2 모멘트법에 의한 응답분포 결정

    1) 확률변수가 1개일 경우(A Single Random Variable)

    연속확률변수 X와 응답 Y 의 관계가 식 (3)과 같이 주어질 경우, g(x)가 단조증가 함수이면 식 (4)가 성 립한다.

    Y = g ( X )
    (3)

    P ( Y y ) = P [ X g 1 ( y ) ]
    (4)

    식 (4)의 좌변과 우변을 응답과 확률변수의 CDF 와 PDF로 각각 표현한 후, 적분변수를 x에서 y로 바꾸면 다음과 같다.

    F Y ( y ) = g 1 f X ( x ) d x = y f X ( g 1 ) d g 1 d y d y
    (5)

    위 식을 y로 미분하면 다음과 같다.

    f Y ( y ) = f X ( g 1 ) d g 1 d y d y
    (6)

    여기서, d g 1 / d y 대신 | d g 1 / d y | 을 사용하면 단조 증가 및 단조감소 모두를 고려할 수 있다. g(x)가 1 차식 ( y = a 0 + a 1 x ) 이고, X 가 정규분포 N ( μ X , σ X ) 를 따 른다면, 응답 Y 의 PDF는 다음과 같이 유도된다.

    f Y ( y ) = 1 | a 1 | 2 π σ X exp [ 1 2 ( y ( a 0 + a 1 μ X ) a 1 σ X ) 2 ]
    (7)

    2) 확률변수가 2개일 경우(Two Random Variables)

    연속확률변수 X1, X2와 응답 Y 의 관계식이 다음과 같이 주어질 경우,

    Y = g ( X 1 , X 2 )
    (8)

    응답 Y 의 CDF는 식 (5)와 유사하게 확률변수들의 결합확률밀도함수(joint probability density function)를 적분하여 구할 수 있으며, 주변확률밀도함수(marginal probability density function)의 정의를 이용하면 다음 과 같이 표현된다(Ang and Tang, 2007).

    F Y ( y ) = g ( x 1 , x 2 ) y f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 = g 1 f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 = y f X 1 , X 2 ( g 1 , x 2 ) | g 1 y | d y d x 2
    (9)

    여기서 g 1 = g 1 ( y , x 2 ) 이다. 식 (9)의 마지막 식을 y에 대해 미분하면 응답 Y 의 PDF를 식 (10)과 같이 구할 수 있다.

    f Y ( y ) = f X 1 , X 2 ( g 1 , x 2 ) | g 1 y | d x 2
    (10)

    g가 1차식 ( y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 ) 으로 정의되고, X1, X2가 통계적으로 서로 독립(independent)이면서 정규 분포 N ( μ X 1 , σ X 1 ) , N ( μ X 2 , σ X 2 ) 를 각각 따른다면, 응답 Y 의 PDF는 정적분을 통해 다음과 같이 계산된다.

    f Y ( y ) = 1 2 π σ Y exp [ 1 2 ( y μ Y σ Y ) 2 ]
    (11)

    여기서,

    μ Y = a 0 + a 1 μ X 1 + a 2 μ X 2
    (12)

    σ Y = a 1 2 σ X 1 2 + a 2 2 σ X 2 2
    (13)

    만약 g를 2차식 ( y = a + b x 1 + c x 2 + d x 1 2 + e x 2 2 ) 으로 가정할 경우는 응답 Y 의 PDF를 구하는 과정에서 1 회의 수치적분(numerical integration)이 필요하다.

    3) 확률변수가 3개 이상일 경우(Multiple Random Variables)

    응답 Y 가 다음과 같이 n개의 확률변수 X 1 , X 2 , , X n 의 함수로 정의될 때,

    Y = g ( X 1 , X 2 , , X n )
    (14)

    g가 1차식 ( y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n ) 이고, X1, X2 , …, Xn가 통계적으로 서로 독립이면서 정규분포 를 따른다면, 응답 Y 의 PDF는 식 (11)과 같고, μYσY는 다음의 값을 가진다.

    μ Y = a 0 + a 1 μ X 1 + a 2 μ X 2 + + a n μ X n
    (15)

    σ Y = a 1 2 σ X 1 2 + a 2 2 σ X 2 2 + + a n 2 σ X n 2
    (16)

    한편 g를 2차식으로 가정하면 응답 Y 의 확률밀 도함수를 구하는 과정에서 (n - 1)회의 수치적분이 필요하다.

    4) 확률변수가 정규분포가 아닌 경우 (Non-normal Random Variables)

    확률변수가 정규분포가 아닌 경우, 확률변수의 평균 점 또는 분포상의 임의점에서 Rackwitz Fiessler 변환 으로부터 구한 등가의(equivalent) 정규분포 평균과 표준편차를 이용하여 응답 Y 의 PDF를 근사할 수 있 다. 등가의 정규분포 확률변수의 평균과 표준편차는 각각 다음과 같이 정의된다.

    μ X N = x * Φ 1 [ F X ( x * ) ] σ X N
    (17)

    σ X N = ϕ [ Φ 1 ( F X ( x * ) ) ] f X ( x * )
    (18)

    여기서, ϕΦ는 표준정규분포의 PDF와 CDF를 각각 나타낸다. 식 (17)과 식 (18)을 이용하면 확률변 수 X 의 특정값 x*에 대응되는 응답 y* 부근의 분포 는 비교적 정확히 추정이 가능하나, 이 점에서 멀어 질수록 분포의 정확도가 줄어드는 단점이 있다.

    2.3 가우시안 분포 결합 및 연결함수 결정

    지금까지 확률변수들의 평균점(mean)과 꼬리기여점 (contribution points)에서 응답함수를 1차 테일러급수 로 근사한 후, 모멘트법을 적용하여 가우시안 타입 의 응답분포 F Y m ( y ) F Y t ( y ) (이하 간단히 ‘Fm’와 ‘Ft’)를 추정하는 방법을 보였다. 이 절에서는 추정 된 두 분포의 연결방법에 대해 설명한다.

    이 연구에서는 Fig. 2에서와 같이 ab에서의 연 결을 가정하여 응답분포 F 를 3구간으로 나누었으며, 각 구간의 CDF를 다음의 식 (19)와 같이 설정하였다.

    y < a ; F = F m
    (19a)
    a y b ; F = F c = ( F t F m ) λ + F m
    (19b)
    b < y ; F = F t
    (19c)

    여기서, λFc는 연결함수(connection function) 및 연결분포함수(connection cumulative density function)를 각각 의미한다. 연결함수는 0~1 사이 값을 가지며, y = ay = b에서 각각 0과 1이 된다.

    ab의 위치를 결정하기 위하여, 3장에서 다루게 될 케이블 교량 예제 (1)에 대한 기초연구를 수행하였 으며 그 결과를 토대로 모멘트법의 정밀도를 평가하 였다(Fig. 3). 목표 절대오차(absolute error)를 1.5%로 설정할 경우, 모멘트법이 1차 테일러급수 근사점에 대응하는 응답을 중심으로 ± 1.0σ 범위까지 정밀도를 확보하는 것으로 확인되었다.

    이 점에 착안하여, ab의 위치를 다음과 같이 설정하였다.

    a = F m 1 ( Φ ( 1 ) ) , b = F t 1 ( Φ ( 2.72 ) )
    (20)

    ab는 응답분포 FmFt에서 각각 μ Y m + 1.0 σ Y m μ Y t + ( 3.72 1.0 ) σ Y t 에 위치하며, 표준정규분포의 누적분포함수(Φ)로 변환해 보면 1.0과 2.72에 위치하 게 된다. 즉, 표준정규분포 공간을 기준으로 FmFt 을 각각 [ , 1.0 ] [ 2.72 , + ] 구간에 사용하고, [1.0, 2.72] 구간에서는 식 (19b)의 연결분포함수를 적 용하였다.

    식 (19b)에서 λy에 대한 임의의 함수로 가정 하고 적절한 경계조건을 부여할 경우 연결분포함수 Fc를 결정할 수 있다. 이 연구에서는 식 (21), (22)와 같이 λy에 대한 3차 다항식으로 가정하였으며, ab에서 CDF와 PDF가 각각 연속이라는 4가지 조 건[식 (23)]을 이용하여 λ의 미정계수를 결정하였다.

    F c = ( F t F m ) ( α y 3 + β y 2 + γ y + δ ) + F m
    (21)

    f c = ( f t f m ) ( α y 3 + β y 2 + γ y + δ ) + ( F t F m ) ( 3 α y 2 + 2 β y + γ ) + f m
    (22)

    F c ( a ) = F m ( a ) , F c ( b ) = F t ( b ) f c ( a ) = f m ( a ) , f c ( b ) = f t ( b )
    (23)

    여기서, fm, ftfc는 각각 Fm, FtFc의 미 분인 확률밀도함수이다.

    2.4 추정된 분포의 검증

    추정된 분포의 타당성 검증을 위해, 제안된 방법을 MCS에 의한 결과와 비교할 수 있다. 그러나 이 연구 에서 관심이 있는 응답분포의 상위 0.01% (누적분위 99.99%) 영역을 조명하기 위해서는 상당한 구조 해석 횟 수가 필요하다. 비교적 적은 횟수의 구조 해석으로 경험 적 누적분포함수(empirical cumulative density function)를 도출하기 위해 이 연구에서는 일계신뢰도법(first order reliability method, FORM)을 활용하였다.

    다음의 식 (24)는 이 연구에서 설정한 한계상태 식으로써 ΨΨcr보다 클 때 파괴로 정의된다.

    G ( X 1 , X 2 , , X n ) = Ψ c r Ψ ( X 1 , X 2 , , X n )
    (24)

    Ψcr를 변화시켜 가면서 G < 0일 때의 파괴확률 Pf (신뢰도 지수 β)를 일계신뢰도법으로 구한 후, [ Ψ c r , 1 P f ] 을 좌표축에 도시하면 응답분포 추정이 가 능하다. 여기서 Ψ는 확률변수 조합에 의한 구조응답 이며 확률분포를 가지게 된다. 다음의 Fig. 4는 Fig. 3과 동일한 예제에 대해 일계신뢰도법과 MCS로 추 정한 응답분포를 보여준다. 두 방법이 거의 유사한 결과를 도출하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이 연구에서는 일계신뢰도법에 의한 결과를 바탕으로 제안된 방법의 타당성을 검토하였다.

    경험적 CDF를 도출한 후, 이를 이용해서 추정된 분포의 적합성 검증을 수행하였다. 이 연구에서 사 용한 방법은 카이제곱 검증(chi-square test)이다. 카이 제곱 검증의 경우 식 (25)와 같이 검증하고자 하는 분포와 비교대상 분포 모두를 도수분포표로 바꾼 후 검증대상의 표준화된 오차 제곱의 합이 카이제곱 분 포(chi-square distribution)를 따른다는 것을 이용한다 (Haldar and Mahadevan, 2000;Kim, 2006).

    i = 1 k ( n i e i ) 2 e i χ f 2 , f = k r 1
    (25)

    k = 1 + 3.3 log 10 n
    (26)

    여기서, eini는 구간별로 예상되는 이론적 도 수와 실제로 관측된 도수이며, f, k, r은 카이제곱 분포의 자유도, 도수분포 구간의 수 및 추정하고자 하는 분포의 파라미터 개수를 각각 의미한다. 이 연 구에서는 식 (26)의 Sturges 공식(Sturges, 1926)을 적 용하여 전체관측도수(total number of observations) n 으로부터 k를 결정하였다.

    3. 수치해석 예제

    3.1 해석모델

    제안된 방법을 팬 타입 케이블 교량에 적용하여 그 타당성을 확인하였다. Fig. 5는 이 연구에서 사용한 해석모델을 보여준다. 케이블은 좌측 1번부터 순서 대로 12번까지 총 12개이다. 1~3번과 10~12번 케이 블은 외측케이블(exterior cable)이며, 나머지는 내측케 이블(interior cable)이다. 거더(girder)는 중앙경간 C점 을 기준으로 좌측과 우측 구간으로 나누어진다. 보 다 자세한 제원은 Table 1에 정리되어 있다. 케이블 교량 해석과 관련된 내용은 Kim and Lee (2001)의 연구를 참고하였다.

    케이블 부재의 탄성계수(E)와 거더의 자중(W)을 확률변수로 설정하였으며, 확률변수들의 변동계수 (coefficient of variation)는 Imai and Frangopol (2001)Lind and Nowak (1978)의 연구를 참고하여 각각 5%로 가정하였다. 주어진 확률변수들로부터 C점에 서의 연직방향 변위응답(중력방향을 +로 가정)의 확 률분포를 추정하였으며, 확률변수들에 대한 변위응 답의 민감도는 케이블 교량의 강성도 방정식을 직접 미분하여 구한 값을 사용하였다.

    3.2 응답분포 추정결과

    2.2절을 참고하여 설정한 총 4가지 예제(Case I~IV)에 대해 제안된 방법으로 변위응답의 확률분포를 추정 하였다. 그 결과, 추정된 분포가 일계신뢰도법에 의 한 분포를 비교적 정확히 예측하는 것으로 판단된다 (Fig. 6~9). 이를 정량적으로 확인하기 위해, CDF 값 이 0.5 이상인 영역을 대상으로 유의수준(significance evel) α=5% 이내에서 분포의 적합성 검증을 수행하였 다(Table 2~5). 이때 전체관측도수(전체 구간에 대한 자료의 개수)는 n = 100으로 가정하였으며 CDF 값이 0.5 이상인 영역에서 도수분포 구간이 식 (26)에 의해 4개가 생성되도록 설정하였다. 일계신뢰도법에 의한 분포 또한 등확률간격(uniform probability interval)인 0.125를 가지는 도수분포로 변환한 후 변위응답의 구간(interval)을 역산하였다. Table 2~5에서 알 수 있 듯이, 4가지 경우 모두에서 표준화된(normalized) 오 차제곱의 합[ ( N i n p i ) 2 / n p i ]이 유의수준 5%에 해당하 는 임계값(critical value)의 1/2보다 상당히 낮게 형성 되어 있는 것을 확인할 수 있다. 따라서 추정된 분포 는 적합하다고 판단된다. Fig. 7, 8, Table 3, 4

    Table 6은 제안된 방법과 평균점 모멘트법에 대 해 카이제곱 검증에 사용된 일반화된 오차제곱의 합 을 비교하여 보여준다. 제안된 방법과 평균점 모멘 트법 모두 임계값과 비교하여 상대적으로 작은 값을 보였으며, 둘의 차이 또한 미세하다. 연결구간의 시 작점에서 중간 부근까지는 평균점 모멘트법이, 중간 부근에서 끝점까지는 제안된 방법이 일계신뢰도법 결과에 가깝게 나타났다(Fig. 10). 제안된 방법에 의 한 오차제곱의 합이 평균점 모멘트법보다 미세하게 큰 이유가 이 부분에 있으며, 추후 기저함수를 적절 히 조절하면 보다 나은 결과가 도출될 것으로 예상 된다.

    • (1) Case I: 모든 케이블의 탄성계수를 변동계수 5%의 정규분포로 가정한 경우(E1=E2=…=E12=E)

    • (2) Case II: 모든 케이블의 탄성계수와 거더 전체 의 자중을 각각 변동계수 5%의 정규분포로 가정한 경우(E1=E2=…=E12=E, W1=W2=W)

    • (3) Case III: 각 케이블의 탄성계수와 거더 좌측 및 우측 자중을 각각 변동계수 5%의 정규분포로 가 정한 경우(E1∼E12, W1, W2)

    • (4) Case IV: 각 케이블의 탄성계수가 변동계수 5% 및 왜도계수 0.1의 삼변수 대수정규분포를 따르 며, 거더 좌측 및 우측 자중을 각각 변동계수 5%의 대수정규분포로 가정한 경우(E1∼E12, W1, W2)

    Table 6의 Case III과 Case IV를 비교해 보면 Case IV의 정확도가 더 낮게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이는 Case IV의 경우 비정규분포 확률변수 를 등가의 정규분포 확률변수로 근사하는 과정에서 근사오차가 포함되었기 때문이다.

    Fig. 11은 제안된 방법과 평균점 모멘트법으로 추 정된 꼬리분포를 비교하여 보여준다. 꼬리점 부근에 서 제안된 방법이 평균점 모멘트법에 비해 정확도 높은 결과를 보여주는 것을 확인하였다.

    지금까지의 결과를 종합해 볼 때, 제안된 방법이 완만한 비선형성을 가지는 케이블 교량해석에 적합 하다고 판단된다.

    4. 요약 및 결론

    이 연구에서는 입력변수의 확률분포로부터 비선형 구조응답의 확률분포를 추정하였다. 응답분포의 평 균영역과 우측 꼬리영역(상위 0.01%부근) 모두에서 정확도 높은 추정을 위해, 비선형 응답함수를 확률 변수의 평균점 및 꼬리기여점 두 곳에서 1차 테일러 급수로 근사하였다. 근사된 응답함수들을 모멘트법 에 적용하여 응답분포를 가우시안 타입으로 각각 추 정하였다. 추정된 두 분포를 결합하기 위해 연결함 수를 도입하였으며, 양단 경계에서 CDF 및 PDF 값 의 연속조건을 이용하여 연결함수의 미정계수를 결 정하였다.

    제안된 방법은 모멘트법을 근간으로 하고 있기 때문에 완만한 비선형성을 가지는 케이블 교량 해석 에 적합할 것으로 판단되어, 팬 타입 케이블 교량 예제를 통해 방법론의 타당성을 확인하였다. 그 결 과, 추정된 응답분포가 일계신뢰도법으로 구한 경험 적 응답분포에 상당히 가깝다는 것을 확인하였다. 또한, 카이제곱 검증을 통해 이를 정량적으로 보였 다. 제안된 방법을 기존의 평균점 모멘트법과 비교 했을 때 분포 형태는 거의 흡사하나 꼬리점 부근에 서 보다 정확한 결과를 보이는 것을 확인하였다.

    제안된 방법은 다양한 부재로 이루어진 복합 구 조들 중에서도 완만한 비선형성을 나타내는 케이블 교량과 같은 구조의 응답분포 추정에 적합할 것으로 판단된다. 추후 제안된 방법을 완만하지 않은(rough) 비선형문제에 적용하여 그 한계점을 확인해 볼 필요 가 있다.

    감사의 글

    본 연구는 2019년도 한국과학기술정보연구원(KISTI) 주요사업 과제로 수행한 것입니다. 연구지원에 감사 드립니다.

    Figure

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    Estimation of Structural Response Distribution
    KOSACS-10-2-31_F2.gif
    Combined PDF and CDF
    KOSACS-10-2-31_F3.gif
    Accuracy of Method of Moment Estimation
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    Comparison of Response Distributions in FORM and MCS
    KOSACS-10-2-31_F5.gif
    Geometry of Pan Type Cable Supported Bridge
    KOSACS-10-2-31_F6.gif
    Estimated Response Distribution of Case I
    KOSACS-10-2-31_F7.gif
    Estimated Response Distribution of Case II
    KOSACS-10-2-31_F8.gif
    Estimated Response Distribution of Case III
    KOSACS-10-2-31_F9.gif
    Estimated Response Distribution of Case IV
    KOSACS-10-2-31_F10.gif
    Comparison of Connection Zone in MME (mean) and Proposed Method
    KOSACS-10-2-31_F11.gif
    Comparison of Tail Zone in MME (mean) and Proposed Method

    Table

    Material and Ssectional Properties of the Fan Type Cable Supported Bridge
    Chi-square Test Result of Case I
    Chi-square Test Result of Case II
    Chi-square Test Result of Case III
    Chi-square Test Result of Case IV
    Comparison of Error Quantities in MME (mean) and Proposed Method

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