1. 서 론

강구조물의 피로균열은 갑작스러운 구조적 성능저하 와 파괴를 유발한다. 피로균열 성장의 정확한 예측 을 통해 강구조물의 구조적 성능과 안전을 보장할 수 있으며, 수명연장을 위한 효과적인 유지보수 계 획수립이 가능하다(Kim and Frangopol, 2018;Chae et al., 2019;Frangopol and Kim, 2019). 강구조물의 피로 균열의 성장과 그에 따른 잔존수명을 예측하기 위한 많은 연구가 진행되어 왔으나, 피로수명 예측 모델 과 외부하중 및 환경조건에서의 불확실성으로 인해 아직도 많은 어려움이 있다(Kim et al., 2010, Lee et al., 2011, Karandikar et al., 2012).

피로균열의 보다 신뢰성 있는 예측을 위해서는 관련 정보의 효과적인 업데이트가 필요하다(Zhao et al., 1994, Dong and Frangopol, 2016). 따라서 균열 발 생예측 지점에서의 정기점검이나 모니터링을 통해 수집된 정보를 기반으로 하는 피로균열 성장 예측모 델의 다양한 업데이트 기법이 적용되고 있다(Ge and Kim, 2018). 하지만 이러한 기법의 적용에 있어서 업 데이트 대상이 되는 변수를 결정해야 하는데 이를 위한 체계적인 방법이 필요한 실정이다.

본 연구에서는 보다 정확하고 신뢰성 있는 피로 균열 예측을 위한 업데이트 대상이 되는 변수들을 결정하는 기법을 제시한다. 이를 위해 특정 시간에 서 발견된 균열의 크기와 변수들의 업데이트 적용 시 예측된 균열의 크기를 비교하여, 그 차이가 가장 작은 변수들이 최적 업데이트 대상 변수들로 결정된 다. 여기서, Markov Chain Monte Carlo 시뮬레이션 기반 Bayesian 업데이트 기법을 적용한다. 또한, 발견 된 균열의 크기와 업데이트된 예측균열의 크기 비교 를 위해 평균절대오차(Mean absolute error, MAE)와 Kullback-Leibler divergency(KL divergency) 기법을 적 용한다.

2. 피로균열 예측과 업데이트

2.1 시간에 따른 피로균열 예측

시간에 따른 피로균열의 크기를 예측하기 위해 일반 적으로 하중조건, 최초균열의 크기, 재료적 성질과 기하학적 특성 고려한 다음의 Paris-Erdogan법칙을 적 용한다(Paris and Erdogan, 1963).

여기서, a는 균열크기, N은 하중의 누적반복횟수, C와 m은 재료적 특성을 반영한 상수, S_r은 응력범위, Y(a) 는 균열발생 부분의 기하학적 특성을 고려한 형상함 수이다. Eq. (1)을 기반으로 특정 균열크기에 도달하 는 시간 t를 다음과 같이 구할 수 있다(Fisher, 1984).

여기서, N_an는 연간하중반복회수, a₀는 최초균열의 크 기이며, a_N은 하중의 총 누적반복횟수 N 이후 균열의 크기가 a₀에서부터 도달된 균열의 크기를 나타낸다.

2.2 피로균열 예측모델 변수 업데이트

피로균열 크기를 예측하기 위해 사용되는 Eq. (2)에 서의 변수들은 일반적으로 실험적 데이터와 해석적 방법을 통해 결정된다. 이러한 변수들은 항상 불확 실성 내포하며 확률적인 방법을 이용하여 보다 합리 적인 예측을 수행한다. 또한, 피로균열 예측에 사용 되는 변수의 추가적인 정보를 사용하여 업데이트를 할 수 있는데, 이를 통해 예측의 정확성과 신뢰성이 향상된다.

일반적으로 업데이트 방법은 Bayesian 이론에 기 반을 둔다. 본 연구에서는 피로균열 점검에 의해 발견 된 균열의 크기로 피로균열 성장예측에 필요한 Eq. (2)의 변수들을 업데이트하며, 이를 위해 Bayesian 이 론을 다음과 같이 적용한다(Ang and Tang, 2007).

여기서, f X ( x | a )는 발견된 피로균열의 크기가 a일 때 업데이트된 변수 X의 사후 확률밀도함수[Posterior probability density function(PDF)], r은 정규화 상수, P_X(x)는 변수 X의 사전 확률밀도함수(Prior PDF)이 며, L ( a | x )은 변수 X에서의 피로균열의 크기에 대한 오차를 나타내는 PDF로 다음과 같이 정규분포함수 의 형태로 나타낼 수 있다.

여기서, σ_e는 측정된 균열의 크기 a와 Eq. (2)으로부 터 예측된 균열의 크기 a(x)의 차이에 대한 표준편차를 나타낸다. 본 연구에서는 업데이트된 변수 X의 f X ( x | a ) 를 구하기 위해 Markov Chain Monte Carlo(MCMC) 시 뮬레이션 방법을 적용한다. 단일 변수의 독립적인 업데이트를 위해 Metropolis - Hasting 알고리즘 기반 MCMC 방법(Gilks et al., 1996)을 적용하였으며, 다수의 변수를 동시에 업데이트하기 위해 Harrio et al.(2005)에 서 제시하는 MCMC 방법을 적용하였다.

2.3 최적 업데이트 변수 결정

Metropolis - Hasting 알고리즘을 적용한 MCMC 방법 을 이용하여 발견된 균열의 크기로 피로균열 예측모 델 변수를 업데이트하게 되는데, 이때 업데이트 대 상 변수를 결정해야 한다. 업데이트 대상 변수 결정 에 있어서 일반적으로 가장 불확실성이 큰 변수를 선택하거나, 피로균열 예측에 가장 큰 영향을 미치 는 변수를 민감도 해석을 통해 선택하는 것으로 알 려져 있으나, 본 연구에서는 보다 체계적인 기준을 제시하고자 한다.

가장 적합한 업데이트 변수 결정을 위한 기준은 발견된 균열의 크기와 그 시점에서 업데이트된 변수 들을 사용한 예측 값과의 차이가 가장 적어야 한다 는 것이다. 본 연구에서는 Eq. (2)에서 업데이트 가 능 대상 변수가 C, N_an, S_r일 경우, 변수 C, N_an, S_r를 독립적으로 업데이트 하는 경우와 다수 변수조합 {C, N_an}, {C, S_r}, {N_an, S_r}, {C, N_an, S_r}을 동시에 업 데이트하는 경우를 고려한다. 업데이트된 예측모델 에서의 균열크기와 발견된 균열의 크기를 비교하기 위해 평균절대오차 D_MAE를 다음과 같이 계산한다 (Willmott and Matsuura, 2005).

여기서, a_pd,i와 a_dt,i는 업데이트된 균열의 크기와 발견 된 균열의 크기로 확률분포를 고려한 N개의 샘플을 통해 계산한다. 또한, 다음의 KL divergency 기법을 적용하여 오차값 D_KL을 다음과 같이 구할 수 있다 (Kullback and Leibler, 1951).

여기서, q(x)는 발견된 균열크기의 PDF이며, p(x)는 예측된 균열크기의 PDF이다. D_KL은 항상 양의 값을 가지며, q(x)와 p(x)가 동일한 경우 0의 값을 가진다. 본 연구에서는 Eq. (5)의 D_MAE와 Eq. (6)의 D_KL의 값 이 가장 작은 변수들의 조합이 최적업데이트 변수들 이다.

3. 피로균열 관리 적용

피로균열의 예측에 있어서 제시된 업데이트 대상 변 수결정 기법을 적용하기 위해 Fig. 1의 선박구조물 단면 바닥플레이트와 수직보강재 연결부에서의 피로 균열을 예시로 적용한다. 시간에 따른 피로균열 크 기는 Eq. (2)의 변수들을 확률변수로 가정하여 Monte Carlo 시뮬레이션을 통해 예측하였다. 해당 상세정보 는 Kim and Frangopol(2011)에서 찾아볼 수 있다.

본 연구에서는 최초 2.5년 시점에서 피로균열 점 검에 의해 발견된 균열의 크기를 로그정규분포함수 를 따르는 다음 3가지의 경우로 가정하였다.

Fig. 2에서는 예측된 균열크기와 Cases 1, 2, 3의 균열 크기에 대한 PDF를 나타낸다. 여기서, 2.5년에 예측된 균열의 크기 a_pd는 평균 2.19mm와 표준편차 0.93mm이다.

Eq. (2)의 피로균열 성장예측 모델의 변수 C, N_an 과 S_r을 앞서 설명한 Metropolis-Hasting 알고리즘 기 반 MCMC 방법에 적용하여 업데이트하였다. C, N_an 과 S_r이 독립적으로 업데이트된 PDF를 Fig. 3에 나타 내었다. Case 1에서의 발견된 균열의 크기가 Cases 2 와 3에 비해 가장 작기 때문에 업데이트된 변수 C, N_an과 S_r의 PDF가 가장 왼쪽에 분포하여 가장 작은 평균값을 가짐을 볼 수 있다.

또한, 피로균열 성장예측 모델에서의 두 가지 변 수를 동시에 업데이트할 경우 변수 C의 PDF를 Fig. 4에 제시하였다. Fig. 4(a)는 변수 C와 N_an이 동시에 업데이트된 경우이며, C와 S_r이 동시에 업데이트된 경우는 Fig. 4(b)에 해당한다. Figs. 4(a)와 4(b)에서 동시에 업데이트되는 변수에 따라 다른 형상의 PDF 를 가짐을 볼 수 있다. Fig. 5는 피로균열 성장예측 모델에서의 세 가지 변수 C, N_an와 S_r를 동시에 업데 이트할 경우 각각의 변수에 대한 PDF를 Cases 1, 2, 3에 대해 나타내었다.

Figs. 3, 4, 5에서와 같이 업데이트된 변수를 사용 하여 예측한 피로균열 크기와 Cases 1, 2, 3의 발견 된 균열 크기의 오차를 Tables 1과 2에 나타내었다. Table 1에서는 Eq. (5)를 적용한 평균절대오차 D_MAE 을 제시하였고, KL divergency 기법의 오차인 D_KL을 Table 2에 나타내었다. 여기서, 가장 작은 값을 가지 는 업데이트 변수들이 최적 업데이트 대상 변수들이 다. Table 1에서는 Cases 1, 2, 3의 경우 모두 피로균 열 성장예측 모델에서의 세 가지 변수 C, N_an와 S_r를 동시에 업데이트 하는 경우 D_MAE값이 가장 작음을 보여준다. Table 2에서도 Cases 1, 2, 3의 경우 C, N_an 와 S_r를 동시에 업데이트하는 것이 가장 작은 DKL값 을 제공한다. 결과적으로 세 가지 변수 C, N_an와 S_r 를 동시 업데이트하는 것이 가장 적합하다는 것을 알 수 있다.

Fig. 6에서는 세 가지 변수 C, N_an와 S_r를 동시 업 데이트할 경우 2.5년에 발견된 균열의 크기와 예측 된 균열의 평균값을 비교하였으며, 이를 기반으로 향후 예측균열크기의 평균값을 표시하였다. Fig. 6에 서 보는 바와 같이 Cases 1, 2, 3의 경우 업데이트된 균열의 크기와 2.5년에 발견된 균열의 크기가 거의 일치하여, 세 가지 변수 C, N_an와 S_r를 동시에 업데 이트한 것이 타당함을 보여준다.

4. 결 론

본 연구에서는 피로균열의 예측을 하는 데 업데이트 대상 변수를 결정하는 방법에 대해 다루었다. 대상 변수 결정은 예측된 균열의 크기와 발견된 균열의 크 기 차이가 가장 적은 것을 기준으로 하였으며, 이를 평가하기 위해 평균절대오차와 KL divergency 기법을 적용한 오차값을 계산하였다. 본 연구에서 제시된 결 과를 통해 다음의 결과를 얻을 수 있다.